漸化式の極限の求め方。

質問

質問です。よろしくお願いします。大学受験問題です。

自然数nについて定積分IｎをIn=s(1→e)ｘ^2(logx)^ndx
とおく。このとき、次の各問に答えよ。

１、1≦x≦eにおいて、不等式logx≦x/eｇが成り立つことを示せ。

２、lim（n→∞）Inを求めよ。

１、はできました。
２はIn=e^3/3（logx）^e-n/3(In-1)

のところまではできましたが、その後がわかりませんでした。
どなたか判る方はアドバイスをお願いいたします。

回答No.4

velvet-rope · ベストアンサー

No.2の者です。

> 他に解法はありますか？また私の考え方のように漸化式にもっていく解法はokですか？
漸化式を利用した解法でも、考え方として正しければ問題ありません。

> その場合、どのようにこの後続けたらよいでしょうか？
Inの値を正確に求めることが必要になります。計算間違えが許されません。Inの一般項はnの式になりますので、nが限りなく大きくなるときの極限値を求めることになります。
しかし、せっかく(1)の不等式を証明したのですから、それを有効活用する解法が一般的です。
∫(1→e)ｘ^2(logx)^ndxの値を直接求めるよりも、∫(1→e)((x^(n+2))/(e^n))dxの値を直接求めた方が簡単で、計算ミスが出にくいです。
漸化式を作ってそれを解く解法は時間もかかり、試験では現実的でないと考えます。
少なくとも私の場合、面倒くさがりなので漸化式を解く解法は選びません。

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
私もできたら、楽な解法が間違いも少なくてすむと思うのですが、練習不足の現在では、楽な解法がみつからないとき、他の解法も知っていたほうがよいかなと思いました。でも、これから一番適当な解法がつかめるよう練習したいと思います。貴重なご意見ありがとうございました。

回答No.3

velvet-rope

No2の者です。

漸化式についてですが、
In=e^3/3（logx）^e-n/3(In-1)
の式を言っていたのですね。
失礼いたしました。

回答No.2

velvet-rope

まず、タイトルがおかしいですね。
漸化式に極限はないです。数列の極限で、ここではInの極限値を求める問題です。
しかも、
　In=∫(1→e)ｘ^2(logx)^ndx
って、漸化式って言わないのではないでしょうか(広い意味では言うのでしょうか)。

質問ですが、1で
　logx≦x/eｇ
とありますが、gってなんですか？x/eでしょうか。
であれば、1≦x≦eでlogx≧0ですから、(logx)^n≧0、(x/e)^n≧0となりますので、1≦x≦e で 0≦(logx)^n≦(x/e)^n となることを利用すれば、なんとかなるんじゃないですか。

お礼

ご回答ありがとうございます。
アドバイスを参考に自分で解答を作ってみました。
ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。

＞logx≦x/eｇ
＞とありますが、gってなんですか？x/eでしょうか。

logx≦x/eの間違いでした。失礼しました。
漸化式の形にもっていったのは、私の考え方であって必ずしも解答がそうだという訳ではないのです。他に解法が見つからなかったもので。。
他に解法はありますか？また私の考え方のように漸化式にもっていく解法はokですか？その場合、どのようにこの後続けたらよいでしょうか？
一つ解法を提案していただきましたので、今から取り組んでみたいと思います。ありがとうございました。

回答No.1

endlessriver

漸化式がメチャちがってます。定積分でxはでてこないです。