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極限 証明
極限 証明 lim[x→∞]（1+（1/x））＾x＝eの証明はどのようにすれば良いでしょうか？ [証明] (logx)'=1/x より，x=1における微分係数は1である。 したがって，微分係数の定義式から lim[h→0]（log(1+h)-log1）/h=1 左辺を変形して lim[h→0]（1/h）・（log(1+h)）=lim[h→0]log(1+h)^（1/h）=1 また、 1/h=x すなわち h=1/x とおくと，x→±∞のときh→0であるから lim[x→∞](1+1/x)^x =lim[x→-∞](1+1/x)^x =lim[h→0](1+h)^1/h=e また、以下が理解できません・・・ lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xはなぜ等しいのでしょうか？ そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。なぜいきなりeが出てくる？ logはどこにいったのでしょうか？
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質問文中の解答例は、 log を log x = ∫[t=1→x] dt/t で、 exp を y = exp x ⇔ x = log y で、 e を exp(1) で 定義しているのです。 そのような定義の下では、正しい証明です。 この問題のような基礎的事項の証明は、 関連する用語の定義をどのようにしておくか しだいで大きく変わってきます。 極端な話、e の定義が e = lim[x→∞] (1+(1/x))^x であれば、証明は「定義より自明」でオワリ。 冗談抜きで、lim[n→∞] (1+(1/n))^n が e の定義 という教科書は少なくありません。 No.1 さんが言っているのは、そういう話です。
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- hugen
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[補足] lim[h→0](1+h)^(1/h)=e つまり lim[h→±0](1+h)^(1/h)=e なら lim[h→-0](1+h)^(1/h)=e
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- B-juggler
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こんばんは 横から失礼。 ちょっと難しく考えすぎかな？ ＞lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)はなぜ成り立つのでしょうか？ ですけれど、 「＋のほうから０に近づける」 ことと 「－の方から０に近づける」 ことを、このときは同じにして大丈夫ですね。 (1+h)^(1/h) に ０ を入れると、 １の無限大乗になりますね。 プラスもマイナスも関係ないですよね。 ＃１の（マイナス無限大乗）＝１／１（無限大乗）＝１ ですからね 難しくやりすぎないことですよ＾＾；
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- hugen
- ベストアンサー率23% (56/237)
log(1+h)^（1/h）=t とおくと (1+h)^(1/h)=e^t → e^1=e また lim[x→∞](1+1/x)^x＝lim[h→+0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h) lim[x→-∞](1+1/x)^x＝lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)
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補足
ご回答ありがとうございます。 lim[x→-∞](1+1/x)^x＝lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h) について、lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→0](1+h)^(1/h)はなぜ成り立つのでしょうか？ よろしくお願い致します。
- alice_44
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＞ e を exp(1) で 定義しているのです。 と書いたでしょう？ lim[h→0] (1+h)^(1/h) = lim[h→0] exp( log( (1+h)^(1/h) ) ) ; exp の定義より = exp( lim[h→0] log( (1+h)^(1/h) ) ) ; exp の連続性より = exp( 1 ) ; 質問文中の結果より
補足
ご回答ありがとうございます。 lim[x→∞]log（1+（1/x））＾x=1として、 lim[x→∞]（1+（1/x））＾x＝e^1=e ということで理解しました。
- koko_u_u
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e の定義を補足にどうぞ
補足
ご回答ありがとうございます。 指数関数の定義や1/xの積分の定義や無限級数の和の定義などなどあると思うのですが、 なかなか理解できずにいたので質問させて頂きました。 確かに定義と言われればそれまでなのですが・・・ 分からない点は、 ・lim[h→0]log(1+h)^（1/h）=1は理解できます。 ここから、1/h=x すなわち h=1/xとおいて、 lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xとなる理由を知りたいです。logはどうやって消えた？ そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。