微分（最適在庫量）

質問

高校時の数学を忘れてしまいました.
微分に関し、なぜそうなるかを教えてください.

最適在庫量は在庫費用の最小化によってもたらされるそうです.
総在庫費用＝Ｃ
1回あたりの発注費用＝Ｐ
年間需要量＝Ａ
発注量＝Ｑ
在庫1単位あたりの在庫維持費用＝Ｓ

Ｃ＝Ｐ・Ａ/Ｑ＋Ｑ/２・Ｓ
ここでＰ・Ａ/Ｑは発注費用でＱ/２・Ｓは在庫維持費用
です.

最適在庫量とは総在庫費用が最小となる発注量だそうです.
つまり、発注量Ｑについて微分すれば

０＝－Ｐ・Ａ/ＱＱ＋１/２・Ｓ
ＱＱ＝２ＡＰ/Ｓ
(注)２乗を表せないためＱＱとしている.

ここでわからないのは
(1)－Ｐになるのか
(2)Ｑが分子にくるのか

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

まずは問題に出てくるC=...の式の意味を読み解いてみましょう。

在庫維持費用
在庫商品は毎日一定数だけ捌けるようです。その数をqとしましょう。年間A個が捌けるのですから、q=A/365ってわけです。
そして一日あたり、商品１単位あたりの在庫維持費用sは一定である。
初め在庫がゼロだとします。発注した商品が入荷すると、在庫がQだけ増える。これが、毎日一定数qだけ減っていくと、在庫量ゼロに戻るのにQ/q日掛かります。その間、在庫がだんだん減っていくから、在庫維持費用も減っていく。この期間、平均すると在庫はQ/2個、従って平均すると一日あたりの在庫維持費用はsQ/2ですね。年間幾らの在庫維持費用が掛かるかというと、365(sQ/2)。年間に掛かる在庫１単位あたりの在庫維持費用はS=365sです。従って、
年間に掛かる在庫維持費用は365(sQ/2) = SQ/2

発注費用
Q/q日ごとにQ個の商品を発注する。年間の発注回数は365/(Q/q)=365q/Q = A/Qです。何個発注しようが発注費用は一定で、１回あたりPだけ掛かる。従って、年間に必要な発注費用はPA/Q。

以上から、
C = PA/Q + SQ/2
という式が出てきたわけです。（これはとっても単純化されたモデルですね。在庫が減ると自動的に在庫維持コストも安くなる。実際にはそうは行きません。）

　さて、商売する以上は、在庫費用をなるべく少なくしたいのは当然のことですが、頻繁に少量づつ発注すると年間平均発注回数が増えてPA/Qが大きくなる。一度に沢山在庫したら、SQ/2が大きくなる。丁度良い所はどこか、という問題です。

PA/QをQで微分すると-PA/(Q^2)です。Qを大きくすると、発注回数が減りますから、発注コストが減る。この、Qが増えるとPA/Qが減る、という関係があることが(-PA/(Q^2))<0という符号に現れています。
また、Qを10個だったのを11個にふやす、なんてのだと、年間平均発注回数の変化が大きいのですが、Qが10000個だったのを10001個にする場合には年間平均発注回数はほとんど変化しない。分母にQが来ていて、Qが大きくなると-PA/(Q^2)がだんだんゼロに近づく、という性質が、この事を表しています。

SQ/2の方は、単純にQに比例していますから、Qで微分するとS/2

後はお分かりのようですね。
だから、dC/dQ=0（Qを変えてもCが変化しない条件）を調べてみますと、
-PA/(Q^2)+S/2=0
よって、
Q^2 =2PA/S
となります。A, Sはちょっと分かりにくい概念なので、A=365q, S=365sと置き換えてみると、
Q^2 =2Pq/s

お礼

数学からはなれてだいぶたつのですが、やっぱり基礎的な知識があればいいですね.これななぜこうなるのかというレベルでいいと思います.stomachmanさんは一般の方なのにかなり詳しいですね.脱帽です.今後とも、よろしくお願いします.

回答No.1

a-kuma

Ｆのｎ乗を f^n という書き方をしたときに、それを f について微分したものは
n × f^(n-1) です。

１／Ｑは Q^(-1) ですから、公式に当てはめると、その微分は -1 × Q^(-2) です。

ですから、

> (1)－Ｐになるのか

の、マイナスがどこから来たのかは分かりますね。

> (2)Ｑが分子にくるのか

これは、微分には関係ないですね。Ｐが一回あたりの発注費用ですから、
年間の発注回数を書けることで、その費用が出ます。

発注回数は、年間の需要量を発注量で割ったものになる、というか、
そう定義している、ということでしょう。

お礼

簡潔なご説明ありがとうございます.役にたちます.高校時代の教科書を取り出して復習しました.今後ともよろしくお願いします.