微分法(応用)の問題

質問

つまってしまったので助けてください。

問. 曲線 C1： y=e^x 上の点Pと曲線 C2： y=-e^(2-x) 上の点Qは, P,Qにおけるそれぞれの曲線の接線が平行であるように動くものとする。
　　 PとQの距離が最小になるとき,直線PQと点Pにおける C1 の接線が直交することを示し,そのときのPとQの距離を求めよ。（添付画像参照）

私の解答.
P(p, e^p), Q(q, -e^(2-q))
における接線が平行であるので,
e^p=e^(2-q) 　　　　∴ p+q=2 　　・・・(1)
このとき、
PQ^2 = (p-q)^2 + {e^p+e^(2-q)}^2　　　・・・(2)
(1)を適用しqを消去し、整理すると
(2)⇔PQ^2=4e^2p + 4(p^2-2p+1)
となる。
f(p)=4e^2p + 4(p^2-2p+1) とおき、微分したのですが最小値を求めることができませんでした。
この後どのように操作すれば、よいのでしょうか。

なお、問題集では q を消去せずに
"p=p0, q=q0=2-p0のとき最小になるとすると
　d/dp(PQ^2)|_P=p0 .................."
としていました。

よろしくおねがいします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

PQ=2√(e^{2p}+(p-1)^2)

ですね．この√の中をf(p)とおきましょう．

f(p)=e^{2p}+(p-1)^2

これを最小にすればいいわけです．

f'(p)=2e^{2p}+2(p-1)=2{e^{2p}+p-1}

これをもう一度微分します．

f''(p)=2(2e^{2p}+1)>0

よってf'(p)は単調増加します．また

f'(-1)=2(1/e^2-2)<0
f'(1)=2e^2>0

ですからf'(p)は-1<p<1にただ一つの実数解p=p_0をもちます．そしてf'(0)=2(1-1)=0です．つまりp_0=0です．こうして，

p<0のときf'(p)<0
0<pのときf'(p)>0

であることがわかり

f(p)はp=0で最小になる

ということがわかります．このときq=2ですから，

P(0,1) Q(2,-1)∴PQの傾き=(-1-1)/(2-0)=-1

となり，PにおけるC1の接線の傾きはe^p=e^0=1なのでPQとC1の接線は垂直です．

お礼

＞f'(p)は-1<p<1にただ一つの実数解p=p_0をもちます
これかあ!!これが出なかった;;
本当に感謝です。

回答ありがとうございました。