微分法

質問

√x+√y=√a(1)（a>0)上の点ｐにおける接線がx軸y軸と交わる点をそれぞれABとするとき、原点Oからの距離の和OA+OBは一定であることを示せ。

(1)上の接点Pを（ｓ、ｔ）（ｓ＞０、ｔ＞０）とおいて、√ｓ＝ｐ、√ｔ＝ｑとしたところ、点Pにおける接線は
Y＝ーq/ｐｘ＋ｐｑ＋ｑ＾２と表せ、A(ｐｑ＋ｐ＾２、０）B(０、ｐｑ＋ｑ＾２）となりました。
OA+OBを√をなくすため（これでやっても結果は同じはず）OA^2+OB^2をかんがえたところ、
（ｐ＾２＋ｑ＾２）（ｐ＋ｑ）＾２＝（ｓ＋ｔ）（√ｓ＋√ｔ）＾２なりました。しかしこれでは、s,tにかかわらず一定であるという形ではありません。
どこがいけないのでしょうか？OA^2+OB^2をかんがえたところはあっているはずなのですが

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

√x+√y=√a (1)

は放物線を４５度傾けたものです。

x^(1/2)+y^(1/2)=a^(1/2)

xで微分して

(1/2)x^(-1/2)+(1/2)y^(-1/2)y'=0

これより

y'=-(y/x)^(1/2) (2)

は出せましたか。

従って点P（ｓ、ｔ）における接線は

y-t=-(t/s)^(1/2)(x-s) (3)

点P（ｓ、ｔ）が(1)上にあることから

√s+√t=√a (4)

点Aではy=0、これを(3)に代入して

x=s+(st)^(1/2)=OA

点Bではx=0、これを(3)に代入して

y=t+(st)^(1/2)=OB

OA+OB=s+t+2(st)^(1/2)=(√s+√t)^2=(√a)^2=a ((4)を使う)

質問者は

A(ｐｑ＋ｐ＾２、０）B(０、ｐｑ＋ｑ＾２）を出しています。これは正解です。最後の

OA+OB=p^2+2pq+q^2=(p+q)^2=(√ｓ+√ｔ)＾2

のところで躓いています。

回答No.1

gohtraw

OAの長さはｐｑ＋ｐ＾２、OBの長さはｐｑ＋ｑ＾２　なのであれば、
両者の和は（ｐ＋ｑ）＾２＝（√ｓ＋√ｔ）＾２
となるのではないでしょうか？