微分方程式が解けません

質問

論文を読んでいましたら、
次のような微分方程式がありました。
その論文には、途中式が書いておりませんで…
ぜひご意見をいただきたいと思います。
問題の式は、

dT = dF / (p + (q - p)F - qF^2)

です。p、qは定数です。
これを、Fについて解くのですが…
私の考えとしましては、両辺を積分して、
T = ??
としてから、普通に解いていくと思ったのですが、
何回計算しても答えが合いません…
なお、論文に記載されている答えは、

F = (q - pe^{-(T+C)(p+q)}) / q(1 + e^{-(T+C)(p+q)})
※Cは積分定数

となるのですが。
どうかご意見をお願い致します！！
できれば、簡単な計算の流れも
書いていただけるとうれしいです！

回答No.2

debut

こうしてるのかな？という予測。
まず、右辺の分母　p+(q-p)F-qF^2=qF(1-F)+p(1-F)=(qF+p)(1-F)　より
dT=dF/(qF+p)(1-F)=qdF/(qF+p)(q-qF)={1/(p+q)}{q/(qF+p)+q/(q-qF)}dF
と部分分数分解
両辺を積分して
T+C={1/(p+q)}{log(qF+p)-log(q-qF)}
(T+C)(p+q)=log(qF+p)-log(q-qF)
-(T+C)(p+q)=log(q-qF)-log(qF+p)
-(T+C)(p+q)=log{(q-qF)/(qF+p)}
e^{-(T+C)(p+q)}=(q-qF)/(qF+p)
ここでFについて解くため、ごちゃごちゃするからe^{-(T+C)(p+q)}=Aと
すると、
A=(q-qF)/(qF+p)
(qF+p)A=q-qF
qF+qAF=q-pA
(q+qA)F=q-pA
F=(q-pA)/(q+qA)=(q-pe^{-(T+C)(p+q)})/q(1+e^{-(T+C)(p+q)})

しかし、なんで？という部分もありますが・・・

お礼

ありがとうございます！！
とても参考になりました！！

回答No.1

marin456

(p + (q - p)F - qF^2)=(p+qf)(1-F)だから

1/ (p + (q - p)F - qF^2)=q/(p+qF)(p+q)+1/(1-F)(p+q)

従ってT=1/(p+q)log|p+qF|-log|1-F|
⇔e^(p+q)T=|p+qF/(1-F)^(p+q)|

pqの値によって絶対値のはずし方がかわるのでは？

お礼

あと、p,qは両方とも正の値です。

説明が不十分で申し訳ございません。

補足

従ってT=1/(p+q)log|p+qF|-log|1-F|…

というところなのですが、もしかして

T=1/(p+q){log|p+qF|-log|1-F|}

となりますか！？