二次関数の問題（大学受験）

質問

現在、「二次関数」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
方程式x＾2-2qx+q=0の2つの解α、βが0＜α＜２、0＜β＜２であるための定数qの値の範囲を求めよ、です。

私は、条件をグラフより
(1)f(0)＞0
(2)f(2)＞0
(3)D＞＝0
(4)f(軸)＜＝0
の４つで、解はその共有範囲としました。ですが、解なしでした。

解答をみると、条件を
(1)D＞＝0
(2)α＞0、β＞0
(3)α＜2、β＜2
の共有範囲としていて、1＜＝q＜4／3としていました。

ここで私の疑問点なのですが、
一つ目
私のだした条件で、答えが解なしとなってしまうのはどうしてでしょうか。
この条件により、グラフを書くと、あっているように思うのですが、どの条件がおかしいのでしょうか。

二つ目
解答でのαとβの範囲に関して、(2)α＞0、β＞0、(3)α＜2、β＜2の他に
(4)α＞0、β＞2
(5)α＜2、β＜0
というのも考えられると思うのですが、どうしていらないのでしょうか。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

一つ目
＞(4)f(軸)＜＝0
これは、「頂点のy座標が０以下」という意味ですか？
だとすれば、答えは解なしではなく、１≦q＜3/4となりました。

ただし、参考書の答えと一致したのは、偶然です。

「頂点のy座標が０以下」という条件は要するに
＞(3)D＞＝0
の事です。

(5)0<軸のx座標<2
という条件が必要になります。この条件を加えても１≦q＜3/4となるので、答えは１≦q＜3/4となります。

２つ目
＞(2)α＞0、β＞0、(3)α＜2、β＜2
この２つあわせると、α>0かつβ>0かつα<2かつβ<2という意味です。要するに0<α<2かつ0<β<2の事です。
この条件が成り立っていれば、
＞(4)α＞0、β＞2
＞(5)α＜2、β＜0
も当然成り立ちます。

お礼

eatern27さま、さっそく御回答いただきありがとうございました。
質問の一つ目に関しては自分でやり直しましたところ、おっしゃる通りになりました。条件に関しても(5)0<軸のx座標<2がぬけていました。これからはもっと注意深く条件を吟味したいと思います。

二つ目に関しては、(2)α＞0、β＞0、と(3)α＜2、β＜2の2つの条件のかわりに、(4)α＞0、β＞2と(5)α＜2、β＜0でもよいということですね。でも、後半の条件だと、計算しにくいので、前半の条件で行ったということですね。大変よくわかりました。ありがとうございました。また質問させていただくこともあると思いますが、よろしくお願いいたします。