数学の解の配置の問題です。

質問

数学の解の配置の問題です。

　問　二次関数y＝x(二乗)－2kx＋2k(二乗)－kのグラフが次の条件を満たすように定数kの値の範囲を求めよ。
　　x軸の正の部分と負の部分で共有点をもつ

解 f(x)＝x(二乗)－2kx＋2k(二乗)－kとおく。
このとき、条件は
f(0)<0　←端点で判断
2k(二乗)－k<0
k(k－2)<0
よって 0<k<2

　わからないのが、端点のf(0)です。これは正と負の両方で共有点をもつ、という意味を示しているんでしょうか？f(2)やf(－2)ではだめなんでしょうか？
　それから、何故　f(0)<0　なのでしょうか？ f(0)>0　ではだめでしょうか？

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。

すみません、「解」という表現は少しおおざっぱでした。＾＾；

#2で「解」といっていたのは「問に対する解」のことです。
もう少し、きちんと表現すると以下のようなことです。

「2次関数が x軸と異なる 2点で交わること」は、「2次方程式が異なる 2つの実数解」をもつことと同じですね。
すると、(判別式)＞ 0という条件が与えられることになります。
ところが、そのような条件は書かれていませんね。

＞だからわざわざ書かなくても、問題で求められているから
ある意味、これで合っています。
下に凸のグラフで、負の値をとる個所があれば必ず x軸と交わっていますよね。
必ず (頂点の y座標)＜ 0であるという表現もできます。

長々となってしまいましたが、こんなことも含んでますよ。ってことで。＾＾；

お礼

x軸の交点＝二次方程式の解ということですか。
　回答者様の仰っていることが理解できたようで、嬉しいです。

　わざわざ二度もご回答頂きありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

x^2（xの2乗）の係数が 1、すなわち正なので下に凸であることはいいと思います。
f(0)＜ 0ということは、「x＝ 0としたときの y座標が負である」という意味です。

自分で描いたグラフをよくみれば、そうなっていませんか？
逆に、そうでない（f(0)≧ 0）とき、問題のようにグラフを描けますか？

「解の配置」と言われているので、2次方程式の問題として扱うことも頭にあると思います。
x軸と交点をもつということは、実数解をもつということになりますね。
ところが、質問で書かれている「解」にはそのような記述が見当たりません。
なぜ見当たらないのか（なぜなくてもよいのか）、これもよく考えてみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。

　言われて見て、ようやくグラフの意味に気づきました。
　0以下でないとx軸と交点をもたないのですね。逆も然りということですかね。

回答者様の仰ったことをよく考えてみたのですが、問題に書かれているのが答えでしょうか。
　問題にはx軸の正の部分と負の部分で共有店をもつ、とあります。
　だからわざわざ書かなくても、問題で求められているから、というのが私の考えた答えです。

　ぱっと答えを仰るのではなく、あえて考えさせるご回答で非常にありがたく感じました。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

２次関数ですね。ｘの２乗の項の係数が１なので、グラフの向きはわかりますね。
そのむきで、正の点と負の点でｘ軸と交わるグラフを実際に書いてみてください。
そうすれば、なぜ、f(0)なのか、なぜ、f(0)が、負でなければならないのか、わかるはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

　正しいかどうかはわかりませんが、グラフを書いてみました。
　これはつまり、y＝f(x)＝0すなわち共有点をもつ、という意味になるんでしょうか。
　それから、0が軸の外側にあるから、負であるということでしょうか。

　せっかくご回答頂いたのに、理解に難を感じてしまい、すいません。