三角比と二次関数の融合問題教えてください。

質問

三角比と二次関数の融合問題です。θについての方程式　
cos＾θ＋２／３sinθ－２／３＋a＝０が、０≦θ≦180の範囲で異なる２つの解をもつように定数ａの範囲を定めよ。という問題です。
sinθ＝ｔ　（０≦ｔ≦１）とおき、　ａ＝（ｔ－１／３）＾－４／９　まで変化させました。そこから、グラフを書いてａの範囲を　－４／９＜ａ＜－１／３　としました。しかし、解答では、与式が題意を満たすには、ｙ＝ａとの共有点が１つである範囲を求めればよいとありました。なぜ、共有点が１つの範囲を求めることになるのか分かりません。詳しく教えてください。

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

＞なぜ、共有点が１つの範囲を求めることになるのか分かりません

簡単に言うとtとθの値の対応が1：2だから交点1個でいいです。。ただし、０≦θ≦180の範囲でですが。
例を上げて言うと、t＝sinθ＝1/√2とすると、θ＝45°,or、135°になるでしょう。
1つのtの値に対して、θの値の値が2個あるでしょう。これを1：2の対応といいます。
従って、ｙ＝ａとの共有点が１つである範囲を求めればよいことになります。

次の問題ならどうするか？

sin＾θ＋2/3cosθ－2/3＋a＝０が、０≦θ≦180の範囲で異なる２つの解をもつように定数ａの範囲を定めよ

この場合は、tとθの値の対応が1：1だから交点が2個必要です。

お礼

解答ありがとうございます！
とても詳しい解答をもらって、とても勉強になりました。
参考書はcosθの場合については書いてあったので、かえってsinθについては、なんで共有点が１つなのかが理解できませんでした。
例を上げてもらって分かりやすかったです。本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#56760

>>０≦θ≦180の範囲で異なる２つの解をもつように定数ａの範囲を定めよ。という問題です。

最終的にθ＝○，△　と成ればよいわけです。

横軸にθ、縦軸にｔをとって
ｔ＝sinθ　（０≦θ≦180）のグラフを書くと、０≦ｔ＜１で、tの値を一つ決めると、それに対応するθは２個得られます。
tの値を２つ決めるとそれに対応するθは４個得られます。

問題では
>>０≦θ≦180の範囲で異なる２つの解をもつように定数ａの範囲を定めよ。という問題です。
とありますから、ａ＝（ｔ－１／３）＾－４／９を解いたとき
tの値は１つだけでないといけません(共有点は１つ)。

お礼

解答ありがとうございます！
ｔの値を２つ決めると、対応するθが４つになってしまうなんて、考えてもいませんでした。
謎が解けてスッキリしました。本当にありがとうございました。