数学・必要十分条件

質問

数学と言うよりは日本語の問題かもしれませんが教えてください。1つ1つの式変形などは分かりますが、大まか流れが分からないのでそこだけ抜き出しました。

「AのためにBであることが必要十分条件である」ことを証明せよ。

と言う問題があったとしたら、B⇔A,A⇔Bのどちらにすればいいのでしょうか。本質的には同じことかと思いますが、「AはBが成り立つための十分条件である」と言えるのは後者だけですよね。これはとある問題を簡略して抜き出したものですが、その解答にはどちらとも取れない回答になっていました。十分性を示すなどの言葉は入っていましたが。

教えて下さい。御願いします。

P.S.
元の問題
f(x)=～～～～～～～が「全ての整数nに対してf(x)が整数」を満たすためには「24aと6bが整数である」ことが必要十分であることを示せ。

回答No.4

Oxia · ベストアンサー

命題「A⇒B」があるとき、
仮定の部分に当たるAは十分条件、結論の部分に当たるBは必要条件です。「仮定」が「十分条件」、「仮・十（か・とう）」などと覚えておけばよいでしょう。
ちなみに、これを理解するために、たとえば、
「日本に住んでいるならば、地球に住んでいる。」という命題を考えましょう（記号で表すと「日本に住んでいる⇒地球に住んでいる」です）。
このとき、「日本に住んでいる」ということは、どのように考えても、「十分」、「地球に住んでいる」と考えられます。
また、「日本に住んでいる」という状況を作り出すためには、まずは「地球に住んでいる」と言う状況を作り出すことが「必要」です。
ということで、「日本に住んでいる」ことは、「地球に住んでいる」ことの「十分条件」、「地球に住んでいる」ことは、「日本に住んでいる」ことの「必要条件」となるのです。

お礼

みなさんのおかげで解決しました。

とくにNO$さんの考え方はわかりやすかったです。

ありがとうございました。

回答No.3

Ishiwara

「ＡのためにＢであることが必要十分条件である」を簡潔に言えば
「ＢはＡの必要十分条件である」となります。
「ＢはＡの必要条件である」は、Ａ⇒Ｂ
「ＢはＡの十分条件である」は、Ｂ⇒Ａ
「ＢはＡの必要十分条件である」は、Ａ⇒Ｂ かつ Ｂ⇒Ａですから、Ａ⇔Ｂとも書きます。
「全ての整数nに対してf(x)が整数」を満たすためには「24aと6bが整数である」ことが必要十分であることを示せ。
という問題であれば、
「f(x)が整数」⇔「24aと6bがともに整数」
という「２つの命題」を証明しなければなりません。

回答No.2

hiro1122

B⇔A,A⇔Bはどちらも同じ意味ですから区別をつけません。

「AはBが成り立つための十分条件である」と言えるのはA→B　が成立するときです。B⇔A,A⇔BはどちらもA→Bが成立するので、
「AはBが成り立つための十分条件である」はどちらについても言えます

元の問題
「24aと6bが整数である」という条件について注目すると

必要性を示すには
「全ての整数nに対してf(x)が整数」→「24aと6bが整数である」を示し
十分性を示すには
「24aと6bが整数である」→「全ての整数nに対してf(x)が整数」を示します

補足

ありがとうございました。

両方いえるなら、どっちが必要でどっちが十分かは分からない気がします。しかし、上の整数問題において"日本語的に"、必要・十分を解釈するとNO2さんのようになると思います。

これでいいのでしょうか。

回答No.1

tama1978

参考にどうぞ
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/condition.htm