マクロ経済学についての質問

質問

statecollege様、先程からお世話になっています。
先程頂いたヒントを元に考えました。
次の制約条件付き最適化問題について考える。

max logC1+1/(1+p)logC2

s.t. C1+(C2/1+r)=Y1+(Y2/1+r)

ただし、C1は第1期の消費、C2は第2期の消費、Y1は第1期の所得、Y2は第2期の所得、logは自然対数、rは利子率、pは主観的割引率である。
①利子率を10パーセント、主観的割引率を10パーセント、Y1=130、Y2=88のとき、生涯所得を求めよ。

②第1期及び第2期の最適所得及び最適貯蓄を求めよ。

logC1+1/(1+p)logC2の限界代替率は
1+p(C2/C1)=Py/Pxとなる。
今回の場合Px=1、Py=1/1+rのため、
1+p(C2/C1)=1/1+rとなり、
数字を代入すると1+0.1 (C2/C1)=1/1.1
よってC2/C1=1/1.21
つまりC1-1.21C2=0
これをC1+(C2/1.1)=210に代入して
C1=104.5
C2=126.5
(割り切れませんでした)

と導けたのですが、これはあっていますでしょうか。

回答No.8

statecollege · ベストアンサー

つまりこの場合だと
∂C1/∂Y1＝1/(1+a）
から
1/1.1≒0.91
である。ということでしょうか？

a=1/(1+p)=1/1.1
よって
1/(1+a)=1/(1+ 1/1.1)=1.1/2.1=0.52
です。

お礼

数日前から本当にお世話になりましたm(_ _)m
この単元に関してとても理解が深まりました。
もしまたこの質問サービスを使って質問することがあれば、お世話にならさせていただけると嬉しいです！
本当に助かりましたありがとうございます！

回答No.7

statecollege

>ここから第1期の所得の限界消費性向を求めるにはどのような計算式になるのでしょうか。△C/△Yとなるのはわかるのですが、この場合は変化前の第0期がないのでどうすればいいのかが分かりません。

限界消費性向というのは現在の所得が微小量増えたとき消費がどのくらい増えるかを示す概念（数学的には∂C1/∂Y1）で、0期の所得とはとくに関係ありません。いま、問題のモデルを多少一般化して
max U=log C1 + alog C2
s.t.
C1 + C2/(1+r) = Y1 + Y2/(1+r)
を解いてこの経済の現在の消費C1について消費関数を求めてみましょう。解は
C1=(1/(1+a))[Y1 + Y2/(1+r)]
となる。なお、将来の消費C2については、
C2 =( (1+r)a/(1+a))[Y1+ Y2/(1+r)]
が得られる。最初の式をY1について偏微分すると
∂C1/∂Y1＝1/(1+a）
を得る。これがこの経済についての限界消費性向
（なお、将来（2期目）の消費については
∂C2/∂Y2＝a/(1+a)
を得る。）
消費関数をみるとわかるように、現在の消費C1は現在の所
得Y1に依存するというより生涯所得Y1+Y2/(1+r)に依存しているといえるでしょう。この消費関数からは現在の所得の変化は生涯所得に影響を与える限りにおいて現在の消費に影響をあたえるといえるでしょう。（たとえば、Y1は増えてもY2が減って、生涯所得Y1+Y2/(1+r)に影響を与えなければ消費はかわらない。）これがミルトン・フリードマンの生涯所得仮説（Permanent Income Hypothesis）の基本的考え方です。

補足

分かりやすくありがとうございます😭
つまりこの場合だと
∂C1/∂Y1＝1/(1+a）
から
1/1.1≒0.91
である。

ということでしょうか？

回答No.6

statecollege

ほかに何が問題でしょうか？解決していない問題はあるのでしょうか？

補足

何度もすみません。
もうひとつの質問の方で質問してしまいました🙇‍♂️
ここから第1期の所得の限界消費性向を求めるにはどのような計算式になるのでしょうか。
△C/△Yとなるのはわかるのですが、この場合は変化前の第0期がないのでどうすればいいのかが分かりません。

回答No.5

statecollege

訂正の訂正！

＞2.1/1.1)C=210
C/1.1=210
C=1.1×210＝231
つまり、
C1=C2=231
と訂正したが、これも間違い！

(2.1/1.1)C=210
C/1.1=100
C=110
つまり、
C1=C2=110
が正しい。
いずれにせよ、あなたの答えとは合わない。

補足

先程計算し直したところ、
C1+(C2/1.1)=210
のところで1.1をC1にかけることを忘れており計算ミスしていました。
おっしゃる通り計算結果は110になりました！

回答No.4

statecollege

私の計算にミスがあった！

＞(2.1/1.1)C=210
C=C1=C2=100/1.1=90.91
となり、あなたの数字とはあわない！もちろん、私の側に計算ミスがあるかもしれないので、もう一度確かめられたい！！！
と書いたが、
(2.1/1.1)C=210
C/1.1=210
C=1.1×210＝231
つまり、
C1=C2=231
となるのが正しい。いずれにせよ、あなたの答えとは合わない！あなたの答えはどうやって得た？

回答No.3

statecollege

>改めて計算し直した結果、C1及びC2は115.5になりました。
あっていますでしょうか。

どうやってこの数字を導いたのか、示してください。私の計算は次の通り。
予算制約(生涯消費は生涯所得に等しい）を用いる。
C1+C2/(1+r) = Y1+ Y2/(1+r)
与えられたY1=130、Y2=88、r=0.1を代入すると、右辺（生涯所得）は
130 + 88/1.1 = 130 + 80 = 210
となる。右辺（生涯消費）はC1＝C2＝Cと置いて代入すると
C + C/(1+0.1) = C(1+ 1/1.1)=( 2.1/1.1)C
よって
右辺＝左辺は
(2.1/1.1)C=210
C=C1=C2=100/1.1=90.91
となり、あなたの数字とはあわない！もちろん、私の側に計算ミスがあるかもしれないので、もう一度確かめられたい！！！

回答No.2

statecollege

あなたの何が間違っているかチェックしたら、
効用関数がU＝logX+alogY
なら、無差別曲線の傾きをあらわす限界代替率MRSは
MRS=∂U/∂X/∂U/∂Y＝(1/X)/(a/Y)=(1/a)Y/X
となり、XとYの価格比率（XのYに対する相対価格）はPx/Pyで、最適点では無差別曲線が予算線と互いに接するので
MRS＝Px/Py
つまり
(1/a)Y/X=Px/Py
となる。あなたの計算を見ると、価格比率が分子分母が正しい比率とは逆になっている！！！！

補足

何度もご丁寧なご指導ありがとうございます。
改めて計算し直した結果、C1及びC2は115.5になりました。
あっていますでしょうか。
何度も申し訳ないです🙇‍♀️

回答No.1

statecollege

>logC1+1/(1+p)logC2の限界代替率は
1+p(C2/C1)=Py/Pxとなる。
今回の場合Px=1、Py=1/1+rのため、
1+p(C2/C1)=1/1+rとなり、
数字を代入すると1+0.1 (C2/C1)=1/1.1
よってC2/C1=1/1.21
⇒

限界代替率は
(1+p)C2/C1=(1+0.1)C2/C1=1.1C1/C2
で価格比率PX/PY=1/(1/(1+r))=1+r=1+0.1=1.1
よって最適効用最大化）条件である限界代替率＝価格比率は
1.1C1/C2=1.1
となる。よって
C1/C2=1
C1=C2
を得る。あなたの計算式には括弧（・）が抜けているので、混乱する。