ミクロ経済学の問題です。

質問

ミクロ経済学の問題です。
よろしければご教授ください。

二期間モデルを用いて、消費者の消費・貯蓄配分問題を考える。消費者は第一期にも第二期にも働いて、それぞれY1 ≧0,Y2 ≧0の実質賃金を得るとする。実質利子率はr>0とし、消費者は第一期に貯蓄及び借入を行えるとする。消費者は異時点間の予算制約のもとで、2期間に得られる効用の和(C1,C2)＝u(C1)+u(C2)が最大となるように第一期の消費、第二期の消費の最適な水準を決定している。各期の効用関数は対数関数(u(C)＝logC)であるとする。以下の問いに答えなさい。

(1)異時点間の予算制約式を導出しなさい。
C2＝(1+r)(Y1-C1)+Y2

(2)効用最大化問題より最適な資源配分が満たすべき条件を求めなさい。
Max logC1+logC2
s.t. C2＝(1+r)(Y1- C1)+Y2
(これでいいのか？)

(3)各期の最適な消費水準を決める消費関数C1,C2を求めなさい。
C1＝Y1(1+r)+Y2/2(1+r)
C2＝Y1(1+r)+Y2/2

(4)(3)で求めた消費関数を用いて、実質利子率が下落した時、C1,C2がどのように変化するか説明しなさい。
C1 増加する
C2 減少する
(具体的にどのように答えたらいいのかわからない)

(5)今、r＝1/4,Y1＝200,Y2＝300であるとする。第一期、第二期の最適な消費水準を求めなさい。
C1＝220 , C2＝275

(6)(5)のもとで、借入制約の影響を考える。消費者が第一期に借入制約に直面し、借入を行えないとする。第一期、第二期の最適な消費水準を求めなさい。
(わからない)

(2)と(4)と(6)以外は解けました。ですが間違いがあったら指摘していただきたいです。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

>(1)異時点間の予算制約式を導出しなさい。
C2＝(1+r)(Y1-C1)+Y2

合ってます。あるいは
C1+C2/(1+r) = Y1 +Y2/(1+r)
とする。

＞(2)効用最大化問題より最適な資源配分が満たすべき条件を求めなさい。
Max logC1+logC2
s.t. C2＝(1+r)(Y1- C1)+Y2
(これでいいのか？)

これでは最大化問題を定式化しただけです。求められているのは最大化の「条件」でしょう！
最適化条件はMRS=1+ｒと制約条件より
C2/C1 =1+r
C2=(1+r)(Y1-C1) + Y2
と書くべきでしょう。

＞(3)各期の最適な消費水準を決める消費関数C1,C2を求めなさい。
C1＝Y1(1+r)+Y2/2(1+r)
C2＝Y1(1+r)+Y2/2

私の答えは
C1= Y1/2 + Y2/(1+r)
C2 = (1+r)Y1/2 + Y2
となりました。あなたの答えと同じじゃないでしょう。確かめてください。検算の方法は自分の答えからC2/C1=1+rが成り立つか調べる！あなたの数字では成り立たないでしょう！

＞(4)(3)で求めた消費関数を用いて、実質利子率が下落した時、C1,C2がどのように変化するか説明しなさい。
C1 増加する
C2 減少する
(具体的にどのように答えたらいいのかわからない)

あなたの答えでよいのでは。

＞(5)今、r＝1/4,Y1＝200,Y2＝300であるとする。第一期、第二期の最適な消費水準を求めなさい。
C1＝220 , C2＝275

あなたの(3)の答えが合っていないので、正しいはずがない。

(5)のもとで、借入制約の影響を考える。消費者が第一期に借入制約に直面し、借入を行えないとする。第一期、第二期の最適な消費水準を求めなさい。
(わからない)

つまり、各期の消費が
C1≦Y1
C2≦Y2
のときあなたの最適な消費どうなるか、ということだ。

お礼

ありがとうございます。
(6)以外は解けました。

回答No.5

statecollege

>No3で、なぜ？と書いたところは理解できたのでしょうか？つまり、いかなるｓ＞０に対しても
log200 + log300 > log(200-s)+log(300+1.25s)
を示すことができるなら、借入制約のもとでの、消費は
C1=200, C2=300
なのでしょうか？

この消費者は借り入れ制約で借りることはできないが、たとえば、銀行に預金するなり、債券を購入することで、貸すことはできる。ｓは貯蓄、つまり第1期の所得のうち消費しないで、（利子率1/4で）貸し付けた額を表す。不等式の左辺は各期の所得を消費した場合の効用、右辺は第1期にｓだけ貯蓄し（したがって第1期の消費は200-s）、それを利子率1/4で運用し、第2期の所得と貸し付けの元利合計の消費からの効用を表している。左辺のほうが右辺より大きいなら、貯蓄せず、各期の所得を全額消費したほうがよいことを示している。
ところが、
右辺＝log(200-s)(300+1.25)=log(60000-50s-1.25s^2)
だから、sは小さいほど、右辺の値は大きくなる。つまり、s=0のとき最大となる。s=0のとき、右辺と左辺は等しく、sがプラスなら、右辺は左辺より小さいことがわかる。証明終わり。

お礼

ありがとうございます！
わかりました！、！

回答No.4

statecollege

No3で、なぜ？と書いたところは理解できたのでしょうか？つまり、いかなるｓ＞０に対しても
log200 + log300 > log(200-s)+log(300+1.25s)
を示すことができるなら、借入制約のもとでの、消費は
C1=200, C2=300
なのでしょうか？

お礼

わからないです。

回答No.3

statecollege

(6)は、直感的にはあきらか。つまり、この消費者は借金をしてでも、第1期の消費を所得200より大きくしたい（借り入れができるときの第1期の消費は220）のだから、借金ができないのなら、第1期の所得を目一杯つかって消費するのが効用を最大化する道。よって、C1=Y1=200,C2=Y2=300が借入制約のあるときの最適消費。もう少し厳密に示したいのなら、(C1,C2)=(200,300)と(C1,C2)=(200-s,300+1.25s)の効用をｓ＞０について比較し、前者のほうが高くなることをしめせばよい。つまり、
log200 + log 300 > log(200-s) + log(300+1.25s)
を示しなさい（なぜ？）

回答No.2

statecollege

訂正。No1に計算間違いがありました。
(3)は
C1 = Y1/2 + Y2/[2(1+r)]
C2 = (1+r)Y1/2 + Y2/2
が正しいですね。
(5)　上の式にY1とY2とｒ＝0.25を代入すると
C1 = 220, C2=175
となるので、あなたの答えで合っています！
一言注意！
あなたの式
C1＝Y1(1+r)+Y2/2(1+r)
C2＝Y1(1+r)+Y2/2
では、訂正された私の式と等しくならない。
C1＝[Y1(1+r)+Y2]/[2(1+r)]
C2＝[Y1(1+r)+Y2]/2
の意味ですよね！第1式の右辺の分子はY1(1+r) + Y2、分母は2(1+r)なら、分子全体を括弧でくくって示さないといけない。同じことは、2番目の式についてもいえる。数学の書き方では、掛け算割り算は先に、足し算引き算はあとで計算するというルールがある！

お礼

ご指摘ありがとうございます。
こちらも表記ミスでした。
気をつけます。