マクロ経済学の問題についての質問

質問

次の制約条件付き最適化問題について考える。

max logC1+1/(1+p)logC2
s.t. C1+(C2/1+r)=Y1+(Y2/1+r)

ただし、C1は第1期の消費、C2は第2期の消費、Y1は第1期の所得、Y2は第2期の所得、logは自然対数、rは利子率、pは主観的割引率である。

①利子率を10パーセント、主観的割引率を10パーセント、Y1=130、Y2=88のとき、生涯所得を求めよ。

②第1期及び第2期の最適所得及び最適貯蓄を求めよ。

以上のふたつの問題の解き方をご教授願いたいです。

回答No.4

statecollege · ベストアンサー

①の生涯所得をIと書くと
I＝Y1 ＋ Y2/(1+r)
つまり、所得の流れを利子率ｒを用いて割引現在価値であらわしたもの。
②の貯蓄Sとは
S＝Y1-C1

補足

何度もすみません。
ここから第1期の所得の限界消費性向を求めるにはどのような計算式になるのでしょうか。
△C/△Yとなるのはわかるのですが、この場合は変化前の第0期がないのでどうすればいいのかが分かりません。

回答No.3

statecollege

いずれにせよ、効用を最大化するためには（効用）関数を微分する問題出てくるが、微分の計算は大丈夫なんでしょうか？
2財問題では、効用最大化消費は
MRS(X,Y）＝Px/Py
（つまり、限界代替率＝XとYの価格比率）
を満たすXとYの組を見つければよいということが、定理のかたちで導出されていると思うが、効用関数がU＝logX+alogYならば、限界代替率MRSは
MRS＝∂U/∂X/∂U/∂Y=(1/X)/(a/Y)=(1/a)(Y/X)
となる。

補足

かろうじて微分の計算は出来ます💦
導出の仕方がうろ覚えで、明確に覚えられていません。
先程の出して頂いた例題についての質問なのですが、r及びpの値は提示されていなくても求めることができるのでしょうか。
何度も質問ごめんなさい🙇‍♂️

回答No.2

statecollege

異時点間の最適問題の解き方は静学的な2財モデルの各財の需要を求める問題の解き方とまったく同様。あなたはC1とC2の代わりに財Ｘと財Ｙの消費量で、所得がＩで、XとYの価格がPx＝1、Py=1/(1+r)で与えられるとししよう。
max logX+alogY
s.t.
Px X+ Py Y = I
の問題は解けるかい？XとYの最適消費量（購入量）を求めよ、という問題だ。ただし、a=1/(1+p)とする。

補足

自分の知識不足になってしまうのですが、特にlogをどうすればいいのかが分かりません。
求め方的には2式を連立方程式でとけば良いという形でしょうか…

回答No.1

statecollege

まず、②に「最適所得」とあるのは「最適消費」の間違いではないか、ということです。所得はY1=130、Y2=88と与えられていて、内生的に決定されるものではない！！

補足

全くもってわからんその通りです。
誤って入力していました。
最適消費に置き換えてよろしければご教授ください🙏