代数学の質問

質問

体Lを体Kの有限次拡大とします。このとき、
Lの有限個のK上代数的な元α1,α2,…αnで、
L=K(α1,α2,…αn)となるように取る事ができる事の証明を教えてください。

α1,α2,…αnがK上代数的なら、
K[α1,α2,…αn]=K(α1,α2,…αn)
となる事はわかっています。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

体論に関する質問をいくつかしていますが、本を少なくとも一冊買った方がよい気がする。その方が体系的に理解が出来る。松坂「代数系入門」（岩波）とかでもいいと思う。

本問に関しては、要は有限拡大は代数拡大である、ということ。

LのK上の基底を{a[1], a[2], ..., a[n]}とおけば、K = K(a[1], a[2], ..., a[n])であるが、この時a[j]は全てK上代数的である。
というのも、仮にとあるb = a[j]がK上代数的でないなら、1,b, b^2, b^3, ...., はK上一次独立だから、 Lの部分体 K(b)が既にKの無限次拡大になってしまう。

お礼

回答ありがとうございます。