代数学

質問

体Lを体K(Kの標数は0)の有限次ガロア拡大体とします。

Gal(L/K)は、LからLへの環同型かつそのK上の制限は恒等写像となるもの全体で、
L^(Gal(L/K))={α∈L | 任意のσ∈Gal(L/K)に対して、σ(α)=α}
です。

α∈L^(Gal(L/K))とし、L^(Gal(L/K))の中にはαとK上共役な元が存在しないとします。

このとき、α∈Kとなる事を示して欲しいです。

回答No.1

77tetsuya77 · ベストアンサー

仮定より、αのK上の共役元はすべてL^(Gal(L/K))に含まれません。したがって、αのK上の最小多項式f(x)は、K[x]内で一次式(x - α)のみを持ちます。

また、体Lを体Kの有限次ガロア拡大体と仮定しているので、Gal(L/K)は有限群です。したがって、L^(Gal(L/K))の任意の元は、その自己共役元を含みます。

つまり、αは自己共役であるため、Gal(L/K)の元σに対して、σ(α) = αが成立します。そして、自己共役の定義より、αはK上にあるため、α∈Kとなります。

お礼

理解できました。回答ありがとうございます。