大至急 代数の考え方について

質問

教えてください。

一問目
全行列環Mat n(K)においてすべ ての行列と可環な行列全体の集 合はどれか。Kは可換体でn>1と する。

1 全行列環mat n(k)
2 スカラー行列の全体 つまり単 位行　　　　
列のスカラー倍全体
3 対角行列全体
4 零行列のみ

二問目
四元数体を2×2の行列で実現する 。このときどれが四元数体を実 現しているか

1 [α　　 　　βバー]
　[-βバー 　　αバー]

2[α 　　　　β　]
　[-β　　　　 α]

3[　　α　　 βバー]
　[　 β　　 αバー]

4[　α 　　　β]
　[-β　　　 α]

123は複素数の範囲 4は実数の範囲です。

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

一問目
2×2行列の成分を文字で置き、成分計算をしてみれば、
n=2 の場合は答えが 2 であることが判る。
そのこと自体は、任意の n に対する証明にはならないが、
少なくとも 1,3,4 は正解でないことが確実となる。

二問目
「バー」が共役複素数を意図しているのなら、正解は無い。
[ α βバー ]
[ -β αバー ]
とか
[ α β ]
[ -βバー αバー ]
とか
[ α -βバー ]
[ β αバー ]
とか、であるはず。
α,β の実部虚部を実変数で w,x,y,z とでも置いて、
行列の乗法がどんな風になるか、書き出してみれば解かる。

補足

ありがとうございます。
問一はよくわかりました。
問二ですが、四元数体というものがよく理解できておりません。
具体的にどのようなものになれば四元数体であるとわかるのでしょうか？
明日テストがあるので教えていただければ、幸いです。