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ｋの値
ｘが実数であるとき、２次不等式 （ｋ－２）ｘ＾２ー（ｋ+1）ｘ+ｋ-2≦0が常に成立するようなｋの値の 範囲はｋ≦（ ）である。 平方完成するのかと思ったのですが複雑になったためどうやるか 教えていただけますか？
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とりあえず、解法の方針です。 そのまま平方完成しようとすると計算が面倒です。 ２次不等式だと問題にあり、k≠2なので両辺をk-2で割ってから計算します。 ただしここでk-2が正か負か、つまりkが2より大きいか小さいかで不等号の向きが逆になることに注意が必要です。 そこでx^2の係数が１となった不等式の左辺を平方完成させて、不等式が成立するのはどのような場合かを考えます。
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- Winter_5
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ｘが実数であるとき、２次不等式 【A】・・・・（ｋ－２）ｘ＾２ー（ｋ+1）ｘ+ｋ-2≦0が常に成立するようなｋの値の 範囲はｋ≦（ ）である。 =============================== 上に凸である必要があるのは、【A】式が常に”≦０”で あるからです。下に凸だったら”＞０”になりますので。 従って ｋの値の範囲はｋ≦（ １ ）である。 お詫びして、訂正します。 以上
お礼
何度も解答くださってありがとうございます。 テストなどで文字を含んだ不等式が出てきた場合に もっとシンプルに式変形して、解答欄に綺麗におさまるような、解法が出てこないかと期待していたため、ご迷惑をおかけしました。 ご親切にありがとうございます。
- Winter_5
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2次不等式にK＝６を仮に入れたとすると ４Ｘ＾２になり下に凸となってしまいませんか ｘの２乗の係数が正になってはダメだとおもうのですが ちなみにｋ＝１の場合は ‐Ⅹ＾２となるため上に凸となります ============================= 貴方の方が正しいように思います。上に凸が正しいようにおみます。 下に凸はダメなように思います。
- Winter_5
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ｘが実数であるとき、２次不等式 （ｋ－２）ｘ＾２ー（ｋ+1）ｘ+ｋ-2≦0が常に成立するようなｋの値の 範囲はｋ≦（ ）である。 ========================== 元々の問題が上記のようであるが、これは 間違いありませんか？ 貴方が、勝手に変更したと言う事はありませんか？ ”範囲はｋ≦（ １ ）であるか、あるいは（ ５ ）≦ｋである。”となっていませんか？
- Winter_5
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2次不等式にK＝６を仮に入れたとすると ４Ｘ＾２になり下に凸となってしまいませんか ｘの２乗の係数が正になってはダメだとおもうのですが ちなみにｋ＝１の場合は ‐Ⅹ＾２となるため上に凸となります ============================ 上記の質問、良い質問です。 今の私のレベルでは、正しいお答えができませんが。 ｋ＝６を代入すると、下に凸となり、 ”ｘの２乗の係数が正になってはダメだ”と 言ってますが、そんな事はありません。 この場合、下に凸となり、x軸とは交わらない。 / 虚数根だから、x軸の上方に、下に凸の 2次方程式が、浮いた形になる。 虚根だから、そうなるよね？ 追加： それならば、上に凸の場合はどうなるか？ 虚根なので、x軸とは交わらない。 つまりは、x軸の下方位に上に凸の２次方程式 が存在する。虚根だからそうなるよネ。 以上です。
- Winter_5
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＞または（ ５）≦ｋ は間違ってませんか？ (k-2)x^2-(k+1)x+(k-2)＜０に於いて試しにｋ＝６ と置いてみます。すると ４ｘ＾２ー7x+4＜０ 判別式Ｄ＝４９ー６４＝ー１５＜０ で虚根となる。 これで合ってるかな？、自信がない。
補足
私は質問している側ですので、詳しく指摘はできませんが、 2次不等式にK＝６を仮に入れたとすると ４Ｘ＾２になり下に凸となってしまいませんか ｘの２乗の係数が正になってはダメだとおもうのですが ちなみにｋ＝１の場合は ‐Ⅹ＾２となるため上に凸となります
- Winter_5
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＞または（ ５）≦ｋ は間違ってませんか？ あまり自信はありません。これを確認するには 例えばｋ＝６とします。それで判別式Ｄを求めます。判別式Ｄ＜０なら２虚数根をもち 正しいことがわかると思います。 グラフ表示アプリＧｒａｐｅｓでグラフを 書いてみるとわかりやすいですよ。
- Winter_5
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＞ｋの値の範囲はｋ≦（ １） となる所まで ＞まとめて書いていただけると助かります。 ｋの範囲は ｋ≦（ １）または（ ５）≦ｋ ”＝”は重根の場合。”＜”は虚根の場合。
補足
ご返答ありがとうございます。 質問の 2次不等式≦0 が常に成り立つところから上に凸ということになるため係数がマイナスとなるかとおもいます ですので または（ ５）≦ｋ は間違ってませんか？
- Winter_5
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2次不等式 （ｋ－２）ｘ＾２ー（ｋ+1）ｘ+ｋ-2≦0 について。 判別式Dについて 判別式D＞０の時------>相異なる2実根を持つ。 （ｘ軸を2か所で横切る） Ｄ＝ ｛ー（ｋ＋１）｝＾２ー４（ｋ－２）（ｋ－２）＞０ （ｋ＾２＋２ｋ＋１）ー４（ｋ＾２ー４ｋ＋４ ）＞０ ー３ｋ＾２＋１８ｋー１５＞０ ｋ＾２ー６ｋ＋５＜０ （ｋ－１）（ｋ－５）＜０ 故に １＜ｋ＜５の時、相異なる2実根を持つ。 判別式D＝０の時------>重根を持つ。 （x軸で、1か所で接する。横断はしない。） ｋ＝１あるいはｋ＝５の時重根を持つ。 判別式D＜０の時------> 2虚根を持つ。 ｘ、ｙ平面は実平面なので、表現できないが ならば、複素平面なら表現できるのか？ ー３ｋ＾２＋１８ｋー１５＜０ ｋ＾２ー６ｋ＋５＞０ （ｋ－１）（ｋ－５）＞０ よって、 ｋ＜１ か ｋ＞５の時2虚根を持つ。
補足
返答おそくなってごめんなさい。 判別式を用いてｋの範囲を出す方が式が少しシンプルでいいと思います できれば、 ｋの値の範囲はｋ≦（ １） となる所までまとめて書いていただけると助かります。
- Winter_5
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方程式 （ｋ－２）ｘ＾２ー（ｋ+1）ｘ+ｋ-2≦0が常に成立するようなｋの値の 範囲はｋ≦（ ）である。 --------------------------------------- ax^2+bx+c=0について 判別式D＝ｂ＾２-4ac＞０・・２実根を持つ。 判別式D＝ｂ＾２-4ac＝０・・・重根を持つ。 判別式D＝ｂ＾２-4ac＜０・・２虚根を持つ。 方程式 （ｋ－２）ｘ＾２ー（ｋ+1）ｘ+ｋ-2≦0 に於いて 判別式D＝ ｛ー（ｋ＋１）｝＾２ー４（ｋ－２）（ｋ－２）＝０・・・・（１） ｋ＾２＋２ｋ＋１ー４（ｋ＾２ー４ｋ＋４）＝０・・・・（２） ー３ｋ＾２＋１８ｋー１５＝０・・・・（３） ｋ＾２ー６ｋ＋５＝０・・・・・（４） （ｋ－１）（ｋ－５）・・・・（５） 以上より方程式は １＜ｋ＜５の時2虚根を持つ。 ｋ＝１あるいはｋ＝５のとき重根を持つ。 ｋ＜１あるいは５＜ｋのとき2実根を持つ。
- Winter_5
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y=（ｋ－２）ｘ＾２ー（ｋ+1）ｘ+ｋ-2≦0 と置くと、関数ｙはｙ＜０の時、負になる。 つまり、正にはならない。 y=０の時、重根を持つ。 ようなｋの値 範囲はｋ≦（ ２）である。
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お礼
両辺を割ると計算が少ししやすくなりました ありがとうございます。
補足
常に≦０が成立するということでグラフが上に凸となり ｘ＾２の係数が－となると考えｋ>２ではないとして ｋ<２で 両辺をｋ－２で割る ？ ｘ＾２-（ｋ+１）x÷（ｋー１）+１≧０ ？ これをどのように計算するのでしょうか ごめんなさい全然わかってなくて… 最初に普通に上に凸から係数が-になるように ｋに１いれて成立したと考えたのですが-１なども 入るからやっぱり面倒な平方完成して頂点のｙ軸を みないといけないかと考えたのですがよくわからなくて 質問しました。