置換時の場合分け

質問

不等式　t^4+2at^2－a^2+2≧0がすべての実数ｔに対して成立するようなaの値の範囲をもとめよ。

でｔ^2=X(X≧0)と置換して
Ｘ^2+2aX－ａ^2+2≧0
ｆ(Ｘ)=Ｘ^2+2aX－ａ^2+2　とおいて
　　　=(X＋a)^2－2a^2+2 までいいのですが、ここでなぜ場合分けをするのですか？

不等式t^2+2at－ａ^2+2≧0がすべての実数ｔに対して成立するようなaの値の範囲をもとめよ。だったなら、別に場合分けしなくていいのですが、なぜ置換したとときはしなければいけないのでしょうか？おしえてください。長くてすいません。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

t^2 = ｘ> 0
を忘れているようです．

t がすべての実数値をとるとき，t^2 はゼロまたは正の値すべての実数値を取ります．
したがって

(A)
> 不等式　t^4+2at^2－a^2+2≧0がすべての実数ｔに対して成立するような
> aの値の範囲をもとめよ。
は
(B)
「不等式　x^2+2ax－a^2+2≧0がゼロまたは正のすべての実数 x に対して成立するような
　aの値の範囲をもとめよ。」
と同じことです．
(C)
「不等式　x^2+2ax－a^2+2≧0がすべての実数 x に対して成立するような
　aの値の範囲をもとめよ。」
とはちがいます．

言い換えれば，適当に a を選んで，
ある負の x に対して x^2+2ax－a^2+2 < 0 となってしまったとします．
(C)の問題だったらこの a は即アウトですが，
(B)だったらとりあえず大丈夫ですね(負の x は問題にしなくていいんだから)．

回答No.2

stomachman

「Xもaも実数とする。f(X)=(X+a)^2-2a^2+2 とするとき、『どんなXでも、X≧0なら必ずf(X)≧0となる』ようなaの範囲は？」という問題。この問題においてNo.1でsiegmund先生の仰るポイントを具体的に見てみましょう。

f(X)=(X+a)^2-2a^2+2
という形に整理したので、放物線(X,f(X))がX=-aで極小になり、極小値は-2a^2+2であると分かります。

ここでもしX≧0という条件がなければ、放物線の極小値は放物線の最小値でもありますから、どんなXについてもf(X)≧-2a^2+2 です。ゆえに-2a^2+2≧0となるaが答です。

ところがX≧0という条件が付くと、f(X)の最小値が幾らになるかがaの符号によって異なるので、場合分けが必要になります。

(1) -a≧0の場合を考えると、X≧0の範囲内でのf(X)の最小値はf(X)の極小値と同じです。f(X)はX=-a≧0で極小になるからです。
ゆえにこの場合、『どんなXでも、X≧0なら必ずf(X)≧0となる』aとは、-2a^2+2≧0を満たすaに他なりません。

(2) -a＜0の場合を考えると、X≧0の範囲内でのf(X)の最小値はf(X)の極小値ではありません。f(X)はX≧0ではXについて単調増加であり、従ってf(X)が最小になるのはX=0のときで、最小値はa^2-2a^2+2。
ゆえにこの場合、『どんなXでも、X≧0なら必ずf(X)≧0となる』aとは、a^2-2a^2+2≧0を満たすaです。

だから答は「(-a≧0かつ-2a^2+2≧0)であるか、または(-a＜0かつa^2-2a^2+2≧0) 、であるようなa」ということになります。