数学です√

質問

解けません。
わかりやすい説明お願いします。

不等式√(|x-1|)≧|x-3/4|を解け。
方程式√(|x-1|)=|x-k|が異なる4つの実数解をもつとき、実数の定数kのとりうる値の範囲を求めよ。

回答No.6

think2nd

inf・・・さんと　ali・・・さんからの頼もしい回答があるのに質問者がフリーズしているようですね。
　inf・・・さんの完璧な模範解答で十分です。
　それをを基本にそして、ali・・・さんから頂いたインスピレーションから、後半の回答を示します。

　　X-1=tとおく。与式
　√(|x-1|)=|x-k|は
　　√(|t|)=|t+1-k|・・・(1)
　　とおける。
　　(1)を2乗して
　|t|=t^2＋２(1-k)t+(1-k)^2　整理すると、
　　t^2＋２(1-k)t-|t｜+(1-k)^2=0　・・・(2)
　　と|t|の2次方程式ができる。(なぜならt^2=|t|^2だから)
　　|t|≠0でありかつ正であれば必ずtは正負の２つを解に持ち
　　　また|t|が異なる２つの解を持てば計４つの解xを持つ。
　　i）t>0のとき　
　　　　　t^2＋(1-2k)t+(1-k)^2=0　
　　　　２つの正の解を持てばいいから
　　　　解と係数の関係から（２つの解の和が正、積は正になっているから２つの解は同符号である。）
　　　-(1-2k)>０　より　1/2<k・・・(3)
　　　かつ　判別式>０より
　　　　　　　D=(1-2k)^2－４(1-k)^2＞0　を解くと
　　　　　　　　3/4<k
　　　　　　　　　これは(3)の範囲にあるから２つの正の解をもつには
　　　　　　　3/4<k　であればいい。
　ii)t<0のとき　(2)は
　　　　　　　t^2＋(3-2k)t+(1-k)^2=0　で２つの負の解をもてばいい。
　　　　　　　　上と同様に
　　　　　解と係数の公式より和は負
　　　　　すなわち　　-(3-2k)<０より
　　　　　3/2<k　・・・(4)
　　　　　かつ
　　　　判別式>０をとくと　5/4>k　このkの取り得る値の範囲は(4)を満たすから、
　　　　　２つの負の解をもつkの範囲は
　　　　　　　　5/4>k　　　　　

　　　　i)ii)が同時に成り立つときxは異なる４つの解を持つ。
　　　　　すなわち　3/4<k<5/4　ただしk≠１

回答No.5

info22_

#3です。

後半）について

添付図をご覧下さい。
方程式の左辺　y1=√(|x-1|)のグラフを黒実線、右辺 y2=|x-k|のグラフでkをパラメータと変化させたカラーの細線で示した。

y2=|x-k|のグラフは y=|x|のグラフをx軸正方向にkだけ平行移動したものである。
このy2のグラフとx軸との交点のx座標がkとなりkを増やすとグラフは右に平行移動し、kを減らせば左に平行移動する。

y2=|x-k|のグラフがy1=√(|x-1|)に接する時のkの値は k=1±(1/3)=3/4,5/4(2通り)になる（前半の問題の添付図の点Cの接点の時のkがその１つ）。

y1とy2のグラフが異なる４点で交わるkの範囲は
　3/4＜k＜5/4(ただし,k≠1)
となります（添付図で確認して下さい）。

回答No.4

alice_44

今回の問題は、込み入ったグラフを書くよりも、
両辺を４乗したほうが早いのではないか。
各辺が正値しかとらない式の場合、
両辺を２乗しても同値だから。

回答No.3

info22_

前半）について

グラフを描いて解くと良いでしょう。
添付図をご覧下さい。
左辺　y1=√(|x-1|)のグラフを黒い曲線、右辺　y2=|x-3/4|のグラフを水色の折線で示す。

２つのグラフの交点A,B,Cを求めると
　点A：y=√(1-x),y=(3/4)-x を解いて　A((1-2√2)/4, (1+√2)/2)
　点B: y=√(1-x),y=x-(3/4) を解いて　B((1+2√2)/4, (-1+√2)/2)
　点C(接点): y=√(x-1),y=x-(3/4) を解いて　C(5/4, 1/2)

元の不等式の解は　y1≧y2 を満たす xの範囲であるから、
y1のグラフがy2のグラグと一致するか、上方にあるxの範囲のxの範囲として

　点A-点Bのxの範囲：(1-2√2)/4≦x≦(1+2√2)/4
および
　点C（接点なので範囲は点だけ）のx座標：x＝5/4

を合せたものが答えになります。

回答No.2

noname#157574

とにかくグラフをかこう。

回答No.1

mister_moonlight

√(|x-1|)=|x-k| →　√(|x-1|)=±(x-k)
(1)　√(|x-1|)=(x-k)の時
√(|x-1|)=αと置くと　α≧0、|x-1|=α＾2　→　x＝1±α＾2
k＝x-√(|x-1|)=(1±α＾2)-α
(2)　√(|x-1|)=-x＋kの時
√(|x-1|)=αと置くと　α≧0、|x-1|=α＾2　→　x＝1±α＾2
k＝x＋√(|x-1|)=(1±α＾2)＋α

よって、y＝(1±α＾2)-α　と　y＝(1±α＾2)＋α　の4つのグラフをα≧0の範囲で書いて、y＝k　と異なる4つの交点を持つときの　kの値域を定めるだけ。
実際の計算は　自分でやって。