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ｋの値
ｘが実数であるとき、２次不等式 （ｋ－２）ｘ＾２ー（ｋ+1）ｘ+ｋ-2≦0が常に成立するようなｋの値の 範囲はｋ≦（ ）である。 平方完成するのかと思ったのですが複雑になったためどうやるか 教えていただけますか？
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とりあえず、解法の方針です。 そのまま平方完成しようとすると計算が面倒です。 ２次不等式だと問題にあり、k≠2なので両辺をk-2で割ってから計算します。 ただしここでk-2が正か負か、つまりkが2より大きいか小さいかで不等号の向きが逆になることに注意が必要です。 そこでx^2の係数が１となった不等式の左辺を平方完成させて、不等式が成立するのはどのような場合かを考えます。
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- gamma1854
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恐縮ですが、この程度の式変形が複雑すぎて・・・、と言わないでください。ごく普通のレベルですからでひ実行してください。
お礼
テスト中この問題がでたら、やはりこの方法でとくしかないのですね たくさん返答頂きありがとうございます。
補足
了解しました。あっているでしょうか k-2が負として（ｋ－２）両辺でわり平方完成するとy座標 -（ｋ＋１）＾２／ {４（ｋ-２）＾２} ＋１≧０ これを解いて （ｋ-１）（ｋ-5）≦0 となりました ｋ＝１と５で５は不適で、１ということであってますか？ 途中やはり自分にとっては複雑でして解答は１と知っていたため途中があっているか不安です。
- gamma1854
- ベストアンサー率52% (307/582)
k<2 であるとき、 f(x)=(k-2)x^2 - (k+1)x + k-2, として、「f(x)≦0 が常に成立する」ということは、y=f(x) のグラフ(上に凸)とｘ軸の関係がどうなるときか考えてください。
お礼
どういう状態かグラフを書くようにはしていたのですが テストでこれが出た場合に、平方完成して文字が分母にくる式があっているのか、もしくは先に消す方法があるのか と不安になってました。 解答ありがとうございます
補足
上に凸のグラフの頂点がｘ軸と交わらないように ｙ座標が０以上にならないような値と考え 平方完成した（ｋを含む）ｙ座標の式を<０として 解いたらできるのかと考えましたが、 平方完成の式が複雑になりすぎてどうするかこまっていました。考え方はあってるでしょうか？
- gamma1854
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まず、「2次不等式」とかいてあるので、k≠2 です。 そこで、k>2, k<2 にわけ、それぞれ吟味します。 f(x)=(k-2)x^2 - (k+1)x + k-2 とし、y=f(x) のグラフを考えてください。 -------------------------------------- 1) k>2 のときは不適であることがわかります。 2) k<2 のときは、グラフにおいて、「頂点のｙ座標がｘ軸を超えない」ことが条件であることがわかります。 ー－－－－－－－－－－ あとは計算だけです。
お礼
「2次不等式」とかいてあるので、k≠2 という 問題文から判断できること知りませんでした ありがとうございます
補足
わかってなくてごめんなさい どの式を計算するだけなのでしょうか？ K＜２のときの条件ということはわかります。
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お礼
両辺を割ると計算が少ししやすくなりました ありがとうございます。
補足
常に≦０が成立するということでグラフが上に凸となり ｘ＾２の係数が－となると考えｋ>２ではないとして ｋ<２で 両辺をｋ－２で割る ？ ｘ＾２-（ｋ+１）x÷（ｋー１）+１≧０ ？ これをどのように計算するのでしょうか ごめんなさい全然わかってなくて… 最初に普通に上に凸から係数が-になるように ｋに１いれて成立したと考えたのですが-１なども 入るからやっぱり面倒な平方完成して頂点のｙ軸を みないといけないかと考えたのですがよくわからなくて 質問しました。