置換積分x=asinθと置く、θの範囲

質問

積分の区間とθの範囲の対応がわからないので質問します。
∫(0→pa)dx/√(a^2-x^2)=α 積分区間は0からpaで、a>0,0<p≦1で、αはsinα=p(0<α≦π/2)の角。と本に載っていたのですが、この定積分の証明でわからないことがあります。x=asinθ(-π/2<θ<π/2・・・(ア))と置くと書かれているのですが、θが-π/2とπ/2をとると、√(a^2-x^2)=√(a^2-a^2)=0で被積分関数が定義できないので、-π/2<θ<π/2になっていると思うのですが、自分は、積分区間を置き換えるとき、0≦x≦pa,0≦asinθ≦pa,0≦sinθ≦p,0≦θ≦α・・・（イ）とし、本には∫(0→α)(1/acosθ)*acosθdθ=∫(0→α)dθ=αと書かれています。本では、p=1の時α=π/2より、∫(0→a)dx/√(a^2-x^2)=π/2と書かれていました。自分は(ア)よりθがπ/2をとれないので、(イ)でもαにπ/2を代入できないと考えてしまいました。そして∫(0→a)dx/√(a^2-x^2)=π/2が疑問となりました。どなたか自分の考えの間違いを指摘し、本の証明が正しいことを教えてください。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

1/√(a^2-x^2)は0≦x<aで連続な関数であり，x=aでは定義されていません。しかし積分区間が0からaまでの積分である∫(0→a)dx/√(a^2-x^2)に関しては，lim(e→+0)∫(0→a-e)dx/√(a^2-x^2)として定義されている。

お礼

本にも証明の注意として、回答にあったような極限の数式がありました。それは定積分の定義の拡張という項目で紹介されているので、調べてみようと思います。
回答ありがとうございます。

回答No.2

gamma1854

まずこの場合のように、
x=a*sinθ
と置換する場合、|θ|≦pi/2 とします。θがこの範囲で ｙ=sinθ は 1 : 1 であり、連続であるからです。
この場合の積分範囲が、0≦x≦p*a であってもまず、このように最大範囲で定義します。-a≦x≦a であっても置換が可能です。
この置換により定積分値は、
I=∫[0~arcsin(p)] dθ = arcsin(p).
となります。

お礼

お返事ありがとうございます。連続な関数や、θとの1:1対応などを調べようと思います。