変数変換後の積分範囲

質問

変数変換後の積分範囲

解析演習という本を独学しているのですが、わからない点が出たので質問いたします。

integ_0^a ( 1/ sqrt(1 - x*x)) dxという式 (_0^aは0からaの範囲の積分という意味、
sqrtは根を求める意味です)において x=sin tとして変数変換すればいい、と本に
書かれてました。なお、ここで|a| < 1という条件がついています。

ここで気になったのが、積分の範囲です。dxからdtに変換されているのですが、
変換後の式は integ_0^a (1)dtと書かれており、0<=x<=aから 0<=t<=aという
ように定義域が同じままでした。

dtの積分範囲はこれで正しいのでしょうか? 間違いの場合、0<=sin t<=aに対する
tの範囲はどう求まるのでしょうか?

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>変換後の式は integ_0^a (1)dtと書かれており、0<=x<=aから 0<=t<=aという
ように定義域が同じままでした。

間違っています。

>dtの積分範囲はこれで正しいのでしょうか? 間違いの場合、0<=sin t<=aに対する
tの範囲はどう求まるのでしょうか?

x=sin(t) (0<=t<=π/2)のグラフを描いて考えれば理解しやすいでしょう。

0<=t<=sin^-1 a (=arcsin(a))

お礼

ありがとうございます。
やはり間違いでしたか。

回答No.1

noname#152421

ご質問内容からの想像ですが、お持ちの本は演習書だけで、微積分の本（教科書）なしで読まれているように見えます。

教科書を使わずに演習書だけっていうのは何か意図があるのでしょうか？
そういうスタイルを自分は体験したことありませんが、演習書っていうのは教科書が横にあるのが前提で作られているはずなので、単独では全体像が見えにくいし、不便ではありませんか？

時間があれば、演習書以外に何か教科書を一冊通読されることをお勧めします。購入してもいいけど、普通の公営の図書館にも微積分の本は何かしら置いてありますよ。

どの本でもいいんですが、『解析演習』だったら、横に置いておくには同じシリーズの『解析入門I・II』が相性いいかもしれません。

時間がなければ通読しなくても、これ（ら）を横において、辞書代わりに使えばいいとおもいます。本件の場合、どの微積分の本にも必ず1変数の変数変換公式についての解説が載っています。そこを読めばわかるはず。