置換を用いた不定積分

質問

また詰まってしまいました。
∫x^2/√(1-x^2)dx
x=sint　と置いて不定積分を求めるのですが、
∫sin^2(t)dtまでは出来たのですが
それからが分かりません。
どなたかよろしくお願いします。
出来れば解説付きでお願いします。

回答No.4

kkkk2222

>>∫(x^2)/√( 1-( x^2) )dx
>>x=(sint)
>>∫( (sint)^2 )dt

P=∫( (sint)^2 )dt
=(1/2)∫( 1-cos2t )dt
=(1/2)t - (1/4)sin2t
=(1/2)t - (1/2)(sint)(cost)

　　t=arcsinx
　　　x=(sint)
　　　　√( 1-( x^2) )=(cost)

P=(1/2)arcsinx - (1/2)x√( 1-( x^2) )

回答No.3

aquarius_hiro

nattsさん、こんにちは。

他の回答者さんがお答えになっていますが、反応がないようですので、詳しく計算してみましょう。

二通りの方法があります。

まず、sin^2 (t) = (1-cos(2t))/2 という公式を使う方法があります。
最初にこの公式ですが、三角関数の加法定理

　cos(a+b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

という式があるのはご存知ですか？この式で、a=b=t とおくと、

　cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t)

になります。cos^2(t) + sin^2(t) = 1 なので、

　1 - cos(2t) = (cos^2(t)+sin^2(t))-(cos^2(t)-sin^2(t)) = 2 sin^2(t)

になります。つまり、

　sin^2(t) = (1/2)[1-cos(2t)] …(1)

になります。これを利用します。

　∫ sin^2(t) dt = ∫(1/2) [1-cos(2t)] dt = (1/2) [ ∫dt - ∫cos(2t) dt ] …(2)

ここで、∫cos(2t) dt は、p=2t とおくと、dp = 2 dt なので、

　∫cos(2t) dt = ∫cos(p) dp/2 = (1/2) sin(p) + C' = (1/2) sin(2t) + C'

になります。C' は積分定数です。故に、

　(2) = (1/2) [ (t + C'') - (1/2) sin(2t)- C' ]
　　= t/2 - sin(2t)/4 + (C''/2 - C'/2)

となるわけですが、C',C''は任意定数（任意の値をとれる定数）ですので、(C''/2 - C'/2) = C とおいたとき、C も任意定数になります。故に、積分の結果は、

　t/2 - sin(2t)/4 + C = (2t - sin(2t))/4 + C …(3)

になります。最後のまとめ方はいろいろあると思います。

検算してみます。(1)を用いると、

　[(2t-sin(2t))/4+C]' = 1/2 - cos(2t)/2 = sin^2(t)

が得られますので、確かに不定積分になっていることが確かめられます。

[別解]
　部分積分をしてもよいです。

　∫sin^2(t) dt = ∫sin(t) sin(t) dt = - sin(t) cos(t) + ∫cos^2(t) dt + C' = - sin(t)cos(t) + C' + ∫(1-sin^2(t)) dt
　　= - sin(t) cos(t) + C' + t + C'' - ∫sin^2(t) dt

故に、

　∫sin^2(t) dt = [ t - sin(t) cos(t) + C' + C'' ]/2

ここで、やはり (C'+C'')/2 = C とおきます。すると、

　∫sin^2(t) dt = [t - sin(t)cos(t)]/2 + C

が得られます。これは上の結果と違うように見えるかもしれませんが、三角関数の公式

　sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)

というのがあるので、それを使えば、

　[t - sin(2t)/2]/2 + C

となり、整理すれば (3)と一致します。

回答No.2

info22

sin^2(t)={1-cos(2t)}/2
という公式を使って下さい。
cos(2t)なら積分できるでしょう。

回答No.1

Tacosan

ようするに「2乗が付いてるから積分できない」んですよね.
さて, cos 2t = ?