5^2^n-1 は2^(n+2)で割り切れて...

質問

お手上げ状態です。次の証明を、どなたかお願いします。

5^2^n-1 は2^(n+2)で割り切れて、2^(n+3)では割り切れないことを示せ。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

括弧をハッキリ書いてください。
『主張：(5^(2^n)) -1 は、2^(n+2)で割り切れて、2^(n+3)で割り切れない』
上の主張をを示せ、でいいですかね？

取り敢えず n=0 の時は(5^(2^n)) -1 =4, 2^(n+2) = 4, 2^(n+3) = 8 で主張は成り立つ。

n≧1の時を考えると、(5^(2^n)) -1 = {(5^(2^(n-1)) + 1} {(5^(2^(n-1)) - 1}であるから、(5^(2^(n-1)) + 1が2では割り切れるが2^2 で割り切れないことが示されれば、数学的帰納法により主張は成り立つことが言える。
（※右の{(5^(2^(n-1)) - 1}は、数学的帰納法を使える形になっていることに注意）

所で n=1の時 (5^(2^(n-1)) + 1 = 6であって確かに2の倍数であるが、4の倍数でない。
n≧2の時 (2^(n-1))≧2であって、二項定理から、
(5^(2^(n-1)) + 1 = (2^2 + 1) ^ (2^(n-1)) +1
＝Σ[1≦j≦(2^(n-1))] (2^2)^j n(j, 2^(n-1)-j) + 1 + 1 （ここで n(j, 2^(n-1)-j) は二項係数）
であって、Σ[1≦j≦(2^(n-1))] (2^2)^j n(j, 2^(n-1)-j) の部分は2^2の倍数であるから、(5^(2^(n-1)) + 1は2の倍数であるが、4の倍数ではない。[qed]

お礼

累乗を正確に示していなかったにもかかわらず、推察までもしていただき、本当にありがとうございます。自分なりに消化できそうです。

回答No.3

tmppassenger

というか、n≧1の時、帰納法の仮定から {(5^(2^(n-1)) - 1} は2^2の倍数であるから、5^(2^(n-1)) + 1 = { 5^(2^(n-1)) - 1 } + 2は明らかに2の倍数であるけど4の倍数でないですね... 二項定理とか持ち出さなくてもよかった...

回答No.1

bellflaw17sai

5^2^（n-1）をｆ（n）、2^(n+2)をg(n)とすると
f(2)=5^2^1=25　g(2)=2^4=16
f(3)=5^2^2=625 g(3)=2^5=32
で割りきれません
以下延々とf(n)は奇数、g(n)は偶数なので
割り切れないと思うのですが
問題文あってますか？

お礼

(5^(2^n)) -1 のつもりでした。検討していただき、ありがとうございました。