lim[n→∞］nr^n=0 が証明できません。

質問

この極限の証明がよくわかりません。どなたか証明をお願いできませんか。どうぞよろしくお願いいたします。

0<r<1, lim[n→∞]nr^n=0

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

1/r = 1+s として sを導入する。 s = 1/r - 1 = (1-r)/r > 0である。
(1/r)^n = (1+s)^n。二項定理から、n≧3の時、 (1+s)^n > 1 + ns + (1/2) n(n-1)s^2 > (1/2)n(n-1)s^2である故、0<r^n < (2/s^2) / { n(n-1) }。

従って、n≧3の時、0< n* (r^n) < { 2/ (s^2)} / (n-1) → 0 (n→∞）。

お礼

なるほど、二項定理が使えるのでね。ダメですね、どこから切り込めばよいのか、さっぱりでした。大助かりです。本当にありがとうございます。