Σ[n=1..∞]nx^n/(n^2+1)が(0,1)で一様収束しない事の証明

質問

よろしくお願いいたします。
Σ[n=1..∞]nx^n/(n^2+1)が(0,1)で一様収束しない事を証明しています。

この和(極限関数)が不連続なら非一様収束である事を示せると思ったのですが
この和を求める事ができず途方に暮れてます。

どのようにして非一様収束である事が示せますでしょうか?

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

元の課題は一様収束しないことを示すことですから、ε ＞ 0 に対してどんなに大きな n を持ってきても |fn(x) - f(x)|＜εとはならない x が定義域内に存在することを示せばよいですよね。それで、
lim[x→1] |fn(x) - f(x)| = ∞
なので、x = 1 近傍で |fn(x) - f(x)| ＞ ε を示せるだろうと思った次第です。

で、考えてみたのですが、イマイチかな・・・。

任意の n と 0 ＜ x ＜ 1 に対して、m ＞ n とすると、
|fn(x) - f(x)| = Σ[k=n+1,∞] k x^k / (k^2 + 1)
＞ Σ[k=n+1,m] k x^k / (k^2 + 1)
＞ x^m Σ[k=n+1,m] k / (k^2 + 1)　・・・ (*)
ここで、
Σ[k=n+1,m] k / (k^2 + 1)　＞ ∫y/(y^2+1) dy　　（積分範囲は y=n+1 から m+1)
より、任意の ε ＞ 0 に対して
Σ[k=n+1,m] k / (k^2 + 1)　＞ 1 + ε
となる m が存在する（つまり ∫y/(y^2+1) dy ＞ 1 + ε となる m が存在）。この m について (*) より　|fn(x) - f(x)| ＞ (1 + ε) x^m であるから、
{ε/(1 + ε)}^(1/m) ＜ x ＜ 1 　において　 |fn(x) - f(x)| ＞ (1 + ε) x^m　＞ ε

m の存在をちゃんと確認したかったら、
∫y/(y^2+1) dy　　（積分範囲は y=n+1 から m+1)
= (1/2) { log((m+1)^2 +1) - log((n+1)^2 + 1) }　＞ 1 + ε
を解いて、
m ＞ { ((n+1)^2 + 1) e^(2(1 + ε)) - 1 } ^ (1/2)
あまり簡単な式ではないけれど、確認すると確かにこんなところらしいです。

もっとスマートに示せるようにも思えます。考えてみてください。

お礼

ご説明大変有難うございます。
お陰様で納得できました。m(＿ ＿)m

回答No.1

kumipapa

f(x) = Σ[k=1,∞] k x^k / (k^2+1)
fn(x) = Σ[k=1,n] k x^k / (k^2+1)
と書くと
f(x) - fn(x) = Σ[k=n+1,∞] k x^k / (k^2 + 1)
ですね。
そして、
lim[x→1]( f(x) - fn(x) )
= Σ[k=n+1,∞] k / (k^2+1)
＞ ∫y/(y^2+1) dy　　（積分範囲は y = n+1 から∞)
　　= (1/2)[log(y^2 + 1)]（積分範囲は y = n+1 から∞)
　　= ∞
つまり、どんなにでっかい n に対しても、x→1 のとき f(x) - fn(x) → ∞　ということになりませんか？

お礼

大変有難うございます。
ご説明の意味は分かりました。

> そして、
> lim[x→1]( f(x) - fn(x) )
> = Σ[k=n+1,∞] k / (k^2+1)

これをε-δでキチンと書こうとしたのですが
0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<|x-1|<δ⇒|Σ[k=n+1,∞] k x^k / (k^2 + 1)-Σ[k=n+1,∞] k / (k^2+1)|<ε
となりますよね。でも結局はΣ[k=n+1,∞] k / (k^2+1)=∞なのですよね。
すると「|Σ[k=n+1,∞] k x^k / (k^2 + 1)-Σ[k=n+1,∞] k / (k^2+1)|<ε」部分は
「|Σ[k=n+1,∞] k x^k / (k^2 + 1)-∞|<ε」
となってしまい,∞との差がεで抑えられるという意味になってしまいますよね。

「lim[x→1]( f(x) - fn(x) ) = Σ[k=n+1,∞] k / (k^2+1)」部分はε-δでどのように証明できますでしょうか?