RC直列回路の問題

質問

下記の問題の③の導出過程を教えてください。
R=2.4[kΩ]、 C=0.01[μF]とし、 V_RCに振幅 1 [V]の正弦波を与えます。
①R=1/ωCとなる基準角周波数 ω[rad/s]、基準周波数 ｆ=2πω[Hz]を求めてください。
②R,Cに流れる電流をIとして、V_R とV_C の位相が π/2 ずれていることを示してください。
③電流Iをejαの指数関数に書き換え、ejωtを掛けて、虚部をとると、正弦波が求まることを示してください。

よろしくお願いします。

回答No.1

m_and_dmp · ベストアンサー

R=1/(ωC) =1/(2πfC) より、
f=1/(2πCR)
=1/(2π x 0.01 x 10^-6 x 2.4 x 10^3)
=1 x 10 ^5/(2 x π x 2.4)
=6.63 x 10^3 [Hz]
=6.63 [kHz}

電流は振幅をI とする正弦波、その瞬時値をi とすると、
i=I x Sin(ωｔ）
V_R=i x R {V}=I x R x Sin(ωt)
V_C=(1/C) x ∫i dt = 1/C x ∫i x Sin(ωt)dt
= I/(ωC) x - Cos(ωt)
V_R がSin(ωt) で変化しているのに対して、V_C は -Cos(ωt）で変化しているので、V_C の位相はV_R によりπ/2 遅れている。
基準角周波数において、1/(ωC) = R だから、V_C とV_R の振幅は等しい。
※Sin(ωt) を積分すると、(1/ω) x - Cos(ωt) となる。マイナスがつく。

つぎの問題は意味がよくわからないが、進めてみます。
i=I x Sin(ωt) のSin(ωt)の部分を指数関数で表示すると、
Sin(ωt) =(e^jωt - e^-jωt)/2j
これにe^jωt をかけると、
(e^jωt x e^jωt -e^-jωt x e^jωt)/2j
=(e^2jωt - 1)/2j
={Cos(2ωt) + jSin(2ωt) -1}/2j
=-jCos(2ωt)/2 + Sin(2ωt) + j/2
虚部は、
{1 - Cos(2ωt) }/2
={ Sin(ωt)}^2
これで正弦波が求められたことになるのですかね？