答えが気になる回路問題の続き

質問

さっきとにている問題なのですがやはり答えがないのでお願いします。
・R(抵抗）とC（コンデンサ）の直列回路（周波数ω）の電流を求めたいのですが
V=√VR^2+VL^2　　と
A＝Xc（容量リアクタンス）分のV
Xc＝2πfC（fは周波数）分の１を利用して

A＝2πωC分の１分の√VR^2+VL^2
＝2πωC×√VR^2+VL^2

でいいのでしょうか？

またRとXc（ωｃ分の１）の値の比が１：√3の時の位相関係はどうなるのですか？
こちらは検討がつきませんでした（汗

最後に素朴な疑問？なんですがどうしてインピーダンスに交流を加えるとAはVよりなぜ９０度だけ位相が遅れるのでしょうか？

回答No.2

Umada · ベストアンサー

類似問題ですので、解法もほとんど同様です。今回もまずベクトル図で解いてみます。
問題で既知の量はω、C、R、Vの4つとします。
また以下の計算では電流をIで示し、また添字を_Rのように表現するのも同様とします。

キャパシタンスCに交流を流す場合電圧と電流の位相が90°ずれます。今度は電流の方が電圧より位相が進んでいます。同様に図1にベクトル図で示してみました。

┿━━→電流I
│　↑
│─90°
│
↓
キャパシタンスにかかる電圧V_C

図1　キャパシタンスのベクトル図

さて抵抗Rでは電圧と電流の位相は一致します。ベクトル図に描けば

　電流I
┿━━→━━→抵抗にかかる電圧V_R

図2　抵抗のベクトル図

となるのは同じです。

さて直列回路では、キャパシタンスに流れる電流＝抵抗に流れる電流＝全電流Iです。そこで図1,2を電流Iが一致するように重ね合わせて描いてみます。やはりV_CとV_Rは90°ずれます。

┌────→抵抗にかかる電圧V_R
│　↑
│─90°
│
↓　　　　●←全体の電圧V
キャパシタンスにかかる電圧V_C

図3　合成インピーダンスのベクトル図

全体にかかっている電圧Vは●で示した点に対応します(等幅フォントでご覧ください)。
三平方の定理から明らかなように、V=√(V_R^2 + V_C^2)の関係があります。

この先も同様です。
V_C=I/(ωC)
V_R=I×R
の関係がありますから、これを当てはめます。すると
V=√[I^2×{(1/ωC)^2+R^2}]
=I×√{(1/ωC)^2+R^2}
となります。I=の式に直せば
I=V/√{(1/ωC)^2+R^2}
です。これが答えです。

次に位相の問題ですが、
V_C=I/(ωC)
V_R=I×R
において、リアクタンスXc=1/(ωC)=√3Rであるなら
V_C=I×√3R
V_R=I×R
です。V_Cの大きさがV_Rの√3倍になるように図を描いてみます。

┌──→抵抗にかかる電圧V_R　*電流Iの位相はV_Rと同じ
│
│
│
↓　　●←全体の電圧V
キャパシタンスにかかる電圧V_C　(大きさはV_Rの√3倍)

図4　電圧Vと電流Iの位相差

図からほとんど明らかですが、電圧Vは電流Iより60°遅れていることになります。

--------
ご質問の最後、インダクタンスで電流の位相が遅れキャパシタンスで進む理由ですが、その理解には微分/積分の知識が必要です。前問および本問でmmkyさんが述べておいでの内容と重なりますが、以下のように説明できます。

【インダクタンス】
コイルの両端には電流iの時間変化に比例した逆起電力Eが現れ、その比例定数をインダクタンスLという。
すなわちE=L(di/dt)の関係がある。
もし電流iがi_0(sin ωt)の形の正弦波であれば、EはL i_0 ω(cos ωt)になるので、電流は電圧より位相が遅れていることになる。

【キャパシタンス】
コンデンサの両端の電圧Eはコンデンサが保有している電荷の量に比例する。その比例定数の逆数をキャパシタンスCという。電荷の変化率はすなわち電流iにほかならない。
よってE=(1/C) [∫i dt]
もし電流iがi_0(sin ωt)の形の正弦波であれば、Eは(i_0/ωC)(-cosωt)になるので、電流は電圧より位相が進んでいることになる。

補足

ありがとうございます。学校の先生にも聞いたのですが、正確な答えを教えていただけず、角周波数についてもおしえていただけませんでした。
今回のUmadaさんの回答は助かります。今から解いていきます！ありがとうございました。

聞きたいのですが通常のコンデンサと進相コンデンサとは何が違うのでしょうか？位相と関係があるのは分かるのですが・・・。

それに、また素朴ですが直流回路を交流回路に変える方法っていくつぐらいあるのですか？一つはスイッチを使うのが思いつくのですが、その他の方法がなかなか思いつきません。何かありますか？？

恐縮ですがよろしくお願いします(m_m)

回答No.1

mmky

参考まで
前の質問でインダクタンス分について書きましたので、コンデンサー：容量分についての考え方をここで補足しておきます。

電流をI=A*sinωt とすると　：ω=2πf
抵抗Rと容量Ｃの直列接続の両端の電圧 E は、容量は貯めますので、
E=RI+（1/Ｃ){∫Idt} ですね。
(1/C){∫Idt}=(1/C){∫A*sinωtdt}=(1/ωC){-A*cosωt}
=(1/ωC){A*sin(ωt-π/2)}
E=R{A*sinωt}+(1/ωC){A*sin(ωt-π/2)}
{sinωt}と｛sin(ωt-π/2)｝は-90度の直交関係ですね。
だから電圧の大きさは、直角三角形の長辺の求め方と同じで、
Ｅ=I*√{R＾2+(ωＬ)＾2}
直列のインピーダンスの大きさ|Z|=*√{R＾2+(ωＬ)＾2}
抵抗とリアクタンス分の位相差θは、
θ=tan-1(-1/RωC )
1/ωC=R のときは、θ=tan-1(-1)=-45度
ということですね。
RとXc（ωｃ分の１）の値の比が１：√3
も直角三角形の角度からもとまりますね。

参考程度に