大学数学

質問

次の広義積分の値を留数計算を用いて求めよ。

∫[0,∞](logx)^2/(1+x+x^2)dx

すみません。詳しく計算過程よろしくお願い致します。

回答No.1

gamma1854

f(z)={log(z)}^3/(z^2+z+1) を次の経路に沿って積分します。(0<r<1<R)
γR : z=R*e^(iφ), (0≦φ≦2pi)
C1 : z=x*e^(2pi*i), (R≧x≧r)
γr : z=r*e^(iφ), (2pi≧φ≧0)
C2 : z=x, (r≦x≦R).
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省略した表示を行います。
∫[γR] + ∫[R~r] + ∫[γr] + ∫[r~R] = 2pi*i*{Res(f, e^(2pi*i/3)) + Res(f, e^(4pi*i/3))}
r→+0, R→∞ とすることにより、
∫[0~∞]{(log(x))^3 - (log(x)+2pi*i)^3}dx/(x^2+x+1) = 2pi*i*56*pi^3/(27√3).
となり、虚部をとって問題の定積分値として、
16*pi^3/(81√3).
を得ます。
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※結果は計算ミスがあるかもしれません。