x以下の双子素数の個数

質問

素数定理から、x以下の素数の個数π(x)は(xが十分大きければ)、x/logx程度であると考える事ができます。

ここから、x自身が素数である"確率"(確率という言葉は適切ではないですが)は、1/logxと考える事ができます。

この部分には、いろいろな考え方がありますが、
例えば、x以下の自然数を取り出した時に、それが素数である確率は、π(x)/x=1/logxであり、xが十分大きければ、これをx自身が素数である"確率"と考えられるでしょう。

(x,x+2)の組が双子素数である、つまり、xとx+2が同時に素数となる"確率"は、
1/(logx)*(1/(log(x+2))≒1/(logx)^2
と考える事ができます。

すると、これを積分した、
∫[x:2→x](1/(logx)^2))dx
の値でx以下の双子素数の個数と見積もることができます。

と、考えました。ところが、

この積分で1,000,000以下の双子素数を見積もると、およそ950程度となります。(積分値を計算するソフトがないので、大雑把な値です)

一方、1,000,000以下の双子素数の個数は、1224個です。

けっこう大きな差がありますよね。1,000,000という値では小さすぎたのかな、とも思いましたが、ウィキペディアを見てみると、この辺りの話が載っていて、

x以下の双子素数の個数は、上の積分に、２Ｃをかけたもので見積もっています。
なお、Ｃ＝Π[p>2](1-1/(p-1)^2)≒0.6601ということだそうです。

実際に、この２Ｃをかけた値で、1,000,000以下の双子素数の個数を見積もってみると、およそ1250個となって、確かに、実際の値と非常に近い値となって、確かに２Ｃをかける事に意味はありそうなのですが、

いったい、このＣという値はどういう根拠がある数値なのでしょうか？
あるいは、∫[x:2→x](1/(logx)^2))dxでx以下の双子素数の個数を見積もった場合、どうして実際の数より小さくなるのでしょうか？

なお、厳密な(数学的な)議論である必要はありません。

回答No.1

DIGAMMA · ベストアンサー

こんにちは、

　興味あるテーマなので、考えてみました。
　（当方は素人です。あらかじめお断りしておきますね）

　任意の２つの数なら「独立事象（って言うんだっけ？）」なので個々の確率の掛け算で合成確率が求まりますが、この場合は、常に２つ離れた数なので、２つの事象に明らかな相関があります。

　任意の２つの数の場合より、NとN+2の場合、一方が素数なら、他方も素数である確率はずっと高くなるはずです。（双方とも奇数または偶数であることは明白ですので、それだけでも、奇奇、偶奇、奇偶、偶偶を含む任意の値の組み合わせより優位ですよね、奇奇以外はＮＧなので、大雑把にいうと1/2と1/4の差ですかね？）

　その辺を考慮すると、0.66という数も出てくるかと思いますが、そこまではまだ、私も計算していません。（というか、できない）

＞なお、厳密な(数学的な)議論である必要はありません。
この一言がなければ、恥ずかしくて回答はしなかったと思いますが、御参考になれば幸いです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど、確かに、xが素数であるという情報があれば、x+2が素数である"確率"に変化がありそうですね。
xが素数であればx+2が素数である"確率"は高くなりそうですね。その辺りから考えてみたいと思います。

xが素数である時に、x+2が素数である"確率"が2C/logxと考えられるのかもしれませんね。
もう少し考えてみたいと思います。

回答No.2

sunasearch

二つの事象の同時生起確率は、

P(A∩B)=P(A)×P(B) × P(A∩B)/P(A)P(B)と書けます。

AとBが独立の時には、P(A∩B)/P(A)P(B) = 1となりますが、
No.1さんのおっしゃられるように、今回の場合は互いに独立な事象とはいえないでしょう。

そこで、このP(A∩B)/P(A)P(B)に相当する値を見積もったものが、
2Cに相当するのだと思います。

また、ハーディ・リトルウッド予想と呼ばれているように、予想ですから証明は現在ないのでしょう。

見積もりの根拠はわかりませんが、
Cの式の形から、ある独立事象の積として見積もられている気がします。

お礼

＞Cの式の形から、ある独立事象の積として見積もられている気がします。

なるほど、確かにそうですね。
もしかしたら、(1-1/(p-1)^2)の項は、xとx+2が素数pで割り切れない確率に関係しているのかもしれませんね。

とすれば、x以下の素数pで割り切れるか否かを考えればよいので、
C(x)=Π[2<p<x](1-1/(p-1)^2)
として、2C(x)をかけた方がよいのだけど、
xが十分大きければC(x)≒lim[x→∞]C(x)＝Ｃと近似できるから、
2Cをかけているのかもしれませんね。

ご回答どうもありがとうございました。