数学の質問です。

質問

(sinx)^4/x^3の[0~∞]での積分計算がわかりません。
留数定理などを用いるのでしょうか？具体的な計算過程を教えていただきたいです。

回答No.3

akinomyoga

No.2 修正

すみません。色々間違っていますね…。まず、
　(cos 2x - cos 4x/x)
となっている部分は
　((cos(2x)-cos(4x))/x)
です。

後、
　|∫[u=2R→4R] du (cos u/u)|
　≦ |∫[u=2π・n0(R) → ∞] du (cos u/u)|
の不等式が成り立つ為には、R = πk (k∈整数) の形で k→∞ として極限を取るように修正しなければなりませんでした。

回答No.2

akinomyoga

以下、無理矢理な計算なので多分求められている回答ではないですが…(もっと簡単な方法がありそう)。

∫[x=0→∞] ((sin x)^4/x^3) dx
　= ∫[x=0→∞] (cos 2x - cos 4x/x) dx (∵1/x^3を2回部分積分、半角の公式でcos 2x, cos 4xにまとめた)
　= lim[R→∞] ∫[x=0→R] (∫[t=2→4] dt sin(tx)) dx (∵f(4)-f(2) = ∫[t=2→4] dt f'(t))
　= lim[R→∞] ∫[t=2→4] dt (1/t - cos(Rt)/t) (∵積分の順序を交換してxについて先に積分)
　= ln 2 - lim[R→∞] ∫[u=2R→4R] du (cos u/u) (∵u=Rtに置換積分)

☆ここで
　|∫[u=2R→4R] du (cos u/u)|
　≦ |∫[u=2π・n0(R) → ∞] du (cos u/u)| (但し n0(R) := floor(R/π) は R/π 以上の最小の整数)
　≦ Σ[n=n0(R)→∞] I(n) → 0 (R→∞)
を示せれば良い。但し、
　I(n) := ∫[x=2πn→2π(n+1)] du (cos u/u).

実際に、
　I(n) = ∫[s=0→2] ds cos(πs)/(2n+s) (∵u=(2n+s)πに置換積分した)
　　= ∫[s=0→1/2] ds cos(πs)[1/(2n+s)-1/(2n+1-s)-1/(2n+1+s)+1/(2n+2-s)] (∵s=0～2を4等分すると、各区間でcos(πx)が同じ形をしているのでs=0→1/2 の一つの積分にまとめた)
　　= ∫[s=0→1/2] ds cos(πs) 2(1-2t)(2n+1)/((2n+s)(2n+1-s)(2n+1+s)(2n+2-s))
　　≦ ∫[s=0→1/2] ds 2(2n+1)/((2n)^2(2n+1)^2) = (1/2)(2/(2n)^3) = 1/(8n^3)
より、
　Σ[n=n0(R)→∞] I(n)
　≦ Σ[n=n0(R)→∞] 1/(8n^3)
　≦ 1/(8 n0(R)) Σ[n=n0(R)→∞]1/(n^2)
　≦ 1/(8 n0(R)) ζ(2) = (π^2/48) (1/n0(R)) → 0 (R→∞).

従って、
　∫[x=0→∞] ((sin x)^4/x^3) dx
　= ln 2 - lim[R→∞] ∫[u=2R→4R] du (cos u/u)
　= ln 2■.

回答No.1

itaitatk

(sinx)^4/x^3の[0~∞]での積分計算がわかりません。
→まずしっかりと問題を記載しましょう。
留数定理などを用いるのでしょうか？具体的な計算過程を教えていただきたいです。
→留数定理などありません

補足

∫[0,∞](sinx)^4/x^3dx=log2になるようなのですが過程がわかりません。