広義積分が収束する範囲を求める問題です

質問

次の広義積分
∫[1,∞](x^α logx)/(1+x)^β dx
が収束するような実数α, βの範囲を求めてください。

出典は京大大学院（数理）の数学Iです。よろしくお願いします。

回答No.1

itoi_mitsugu

f(x)=logx/xとおくとf'(x)=(1-logx)/x^2よりx=eで極大
1＜xで0<f(x)<1/e
1<xで(x^α logx)/(1+x)^β < x^(α+1)/{e(1+x)^β}
積分が収束するためにはx→∞のときx^(α+1)/(1+x)^β→x^γ　(γ<-1)
よってα+1-β<-1,つまりβ-α>2