微積の問題10です

質問

次の広義積分の値を求めよ。なお、値が存在しないときにはその理由を明確に述べよ。

(1)∫[0→2] dx/√2-x

(2)∫[0→2] dx/(x-2)^2

(3)∫[0→∞] xe^-x dx

(4)∫[1→∞] dx/x√x^2-1

一問だけでもいいので解答お願いしますorz

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

(1)
∫[0→2-] dx/√(2-x)
=lim(a→2-)∫[0→a] (2-x)^(-1/2) dx
=lim(a→2-) [-2(2-x)^(1/2)][0→a]
=lim(a→2-) 2{√2-√(2-a)}
=2√2

(2)
∫[0→2-] dx/(x-2)^2
=lim(a→2-)∫[0→a] dx/(x-2)^2
=lim(a→2-)[-1/(x-2)][0→a]
=lim(a→2-){(1/(2-a))-(1/2)}
=lim(a→2-) a/{2(2-a)}
=∞

(3)
∫[0→∞] xe^(-x) dx
=lim(a→∞)∫[0→a] xe^(-x)dx
=lim(a→∞) {[-xe^(-x)][0→a] +∫[0→a] e^(-x)dx} ←部分積分
=lim(a→∞) {-ae^(-a) +[-e^(-x)][0→a]}
=lim(a→∞) {-ae^(-a) -e^(-a)+1}
=1-lim(a→∞) (a+1)/e^a
=1-lim(a→∞) 1/e^a ←ロピタルの定理
=1

(4)は後で。

お礼

回答ありがとうございます。
(3)までわかりやすい解答でした。またあとで、自分なりに解きなおしてみます。
(4)の解答はこの土日であれば遅くなっても構いませんのでよろしくお願いしますm(__)m

回答No.5

info22_

#4です。

(4)
x=1/sin(t)で置換積分すると
x:[1→∞]　⇒　t:[π/2→0]
sin(t)>0,cos(t)>0
dx=-cos(t)dt/sin^2(t)
dx/(x√(x^2 -1))
=-{cos(t)dt/sin^2(t)}/[(1/sin(t))√{(1/sin^2(t))-1}]
=-cos(t)dt/√{1-sin^2(t)}
=-cos(t)dt/cos(t)
=-dt
より
I=∫[1→∞] dx/{x√(x^2 -1)}
=∫[π/2→0] (-dt)
=∫[0→π/2] dt
=[t][0→π/2]
=π/2

お礼

(4)の解答もありがとうございました。
この度は本当にお世話になりました。次回質問する機会がありましたらどうぞよろしくお願いします。

回答No.3

asuncion

(1)
2√2

お礼

解答ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

あのぉ、広義積分ってことは大学生ですか？
高校生なら「逆にどれか１問は解いてください。」と言おうかと思っていましたが。

どういう事情かはわかりませんが、中高生にもバッチリ見られていますよ。。。

お礼

微積の問題（数学）は特に苦手科目で、いつもテスト前には誰かが一度解いた解答を見ながらもう一度解き、そして、最後は見ないで自分なりに解く方法をとっているため初見の問題はどこからどう手を付ければいいのかわからないために質問しました。

>中高生にもバッチリ見られていますよ。。。

別に構いません。逆に、このサイトを見て勉強している自分がいるのでそういう中高生が仮にいるならばいいことではないでしょうか？もし、こういった質問が規約違反だったりするならば申し訳ありませんでした。自分はこのサイトをつい先日から始めたものなので・・・

これからは注意します（汗）

回答No.1

noname#152072

すでに何問かこのサイトで解いてもらっているようですが、自分で解かなくてよいのですか?
そんなに他人から種明かしを聞いて、楽しいですか?

お礼

>すでに何問かこのサイトで解いてもらっているようですが、自分で解かなくてよいのですか?

自分ではいつも参考書を見ても途中までしか解けないことと、この休み中周りにどのようにして解けばいいのか聞ける人がいないために質問しました。

>そんなに他人から種明かしを聞いて、楽しいですか?

もちろん自分で解けるほどうれいいことはありませんが、この休み中すぐに知りたいので質問しました。
楽しいか、楽しくないかは別問題です。

↑長文失礼しましたm(__)m