下記の展開式の導き方を教えてください。

質問

tan x=sin x+1/2sin³x+1・3/2・4sin⁵x+・・・
　　　　+1・3・・・(2n-1)/2・4・・・(2n)sin ²n⁻¹x+・・・

上記sin ²n⁻¹xはsin xの(2n-1)乗を表わします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

x=0付近で、 sin(x) = zとおけば、tan(x) = sin(x) / cos(x) = z/ { (1-z^2) ^(1/2) }であるから、(1-y)^(-1/2) のtaylor展開さえ出来れば、あとはy=z^2を代入して、それをz倍すればよい。

補足

ご回答ありがとうございます。
(1-y)^(-1/2) をtaylor展開したのですが、
下記のLagrangeの剰余を0に導くことができません。

lim Rn=y^ｎ/n！f(n)(θy) 　(0<θ<1) (f(n)はn次導関数）
n→∞
=y^n/n！×(1・3・・・(2n-1))/2^n×(1-θy)^-((2n+3)/2)

以上、ご指導のほどよろしくお願い致します。

回答No.4

tmppassenger

あ、絶対収束（もするけど）ではなくて、一様収束ですね

回答No.3

tmppassenger

多分その形で剰余項が0になることを直接導くことは難しい。

杉浦光夫「解析入門I」III章定理4.3の方法で示すのが多分手っ取り早い

f(x) = (1+x)^(-1/2)に対して、
g(x) = Σ[n≧0] { (-1)^n (2n-1)!! / (2n)!! * x^n } は、0<R<1なる実数Rに対して、|x|≦Rの間では絶対収束するから、g(x)は項別微分できて、それを使って (1+x)g'(x)を計算すると、 (1+x)g'(x) = (-1/2) g(x)が成り立つ。

一方、(1+x)f'(x) =(-1/2) f(x)も成り立つ。|x|≦Rの間では f(x)≠0であるから、h(x) = g(x) / f(x)とおいて、h'(x)を計算すると h'(x) = 0となるから、h(x) = const.となるが、f(0) = g(0) = 1であるゆえ、h(x) = 1となる。

お礼

ご回答ありがとうございました。
今後ともよろしくお願いいたします。

回答No.2

tmppassenger

その形の剰余項だと難しいかもしれないが、積分形の形の剰余項を使って評価すれば出てくる。
因みに細かいですが、2n+3ですか？

補足

ご質問2n+3については、正しくは2n+1です。
ご指摘ありがとうございます。
なお、積分形の形の剰余項については、積分まで学習が進んでいないため、保留しておきます。
又、微分での剰余項を0にする方法がございましたらぜひともお教え願います。