二項分布の分散の計算による証明

質問

https://mathtrain.jp/bin
の「二項分布の分散の計算による証明」を読んでいます。

まずは添付ファイルをご覧ください。
サイトに載っている、二行目から三行目の計算過程を教えて下さい。

自分で解こうとして、
k = j - 2
j = k +2
を代入してみましたが、思いの外、
「サイトに載っている形」とはまったく違う式になりました。
ただ、「k-2」は部分的に合うようにはなりました。

この間にどういう計算をしているのか教えて下さい。
どうかお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

k(k-1)*nCk
=k(k-1)*n!/k!/(n-k)!
=n(n-1)*(n-2)!/(k-2)!/(n-k)!
=n(n-1)*(n-2)C(k-2)
だから
Σ[k=1 to n] k(k-1)*nCk*p^k*q^(n-k)
=Σ[k=2 to n] k(k-1)*nCk*p^k*q^(n-k)
=Σ[k=2 to n] n(n-1)*(n-2)C(k-2)*p^k*q^(n-k)
=n(n-1)*p^2*Σ[k=2 to n] (n-2)C(k-2)*p^(k-2)*q^(n-k)

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

k(k-1)*nCk = n(n-1)*(n-2)C(k-2)
は知りませんでした。
久し振りに離散数学の教科書を引っ張り出してきました。
k*nCk = n*(n-1)C(k-1)
の式は載っていましたので、自分で解いてみました。
なるほど、こうやってkとnを操作できるんですね。

※今回は本当にお二人の回答を両方とも見ながら解きました。
ですので、ベストアンサーは迷ったのですが、先に回答いただいたNo.1さんに差し上げることにしました。
ただし、チップは同じだけ差し上げようと思います。

※実はΣがk=1 ⇒ K=2になる計算が理解できていないので、
その部分だけはまた質問させていただきます。

ご回答ありがとうございました！

回答No.2

gamma1854

※ 組み合わせの数を、combi(n, r) と書くことにします。
Σ[k=2 -> n] k(k-1)*combi(n, k)*p^k*q^(n-k) + E[X]
の第一項は、k(k-1)*combi(n, k)=n(n-1)*combi(n-2, k-2) であることを使って、
n(n-1)*p^2*Σ[i=0 -> (n-2)] combi(n-2, i)*p^i*q^(n-2-i) ...(*)
と書けます。(k-2 = i として)
(*) を書き換えると、
n(n-1)*p^2*(p+q)^(n-2)=n(n-1)*p^2.
これより、
E[X^2] = n(n-1)*p^2 + E[X].
∴ V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2 = npq.
です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

私が
k(k-1)*combi(n, k)=n(n-1)*combi(n-2, k-2)
を知らなかったのが解けない主な原因でした。
離散数学の教科書には他にも覚えるべきことが載っていたので、
また勉強しようと思います。

※今回は本当にお二人の回答を両方とも見ながら解きました。
ですので、ベストアンサーは迷ったのですが、先に回答いただいたNo.1さんに差し上げることにしました。
ただし、チップは同じだけ差し上げようと思います。

※実はΣがk=1 ⇒ K=2になる計算が理解できていないので、
その部分だけはまた質問させていただきます。

ご回答ありがとうございました！