二項分布の期待値の計算過程

質問

二項分布の期待値を計算しています。

https://mathtrain.jp/bin
の中の
E[X] = np Σ[k=1, n] n-1 C k-1 p^(k-1) q^(n-k)
= np Σ[k=0, n-1] n-1 C k p^k q^(n-1-k)
の計算過程を教えて下さい。

この計算の間に
k=1 ⇒ k=0
n ⇒ n-1
が変わっています。
それらを一つずつ変更できますでしょうか？

意味は半分わかっているつもりです。
k=1からnだったのが
k=0からn-1になったので、
配列が一つズレた印象です。
二行目はn-1に括弧を付けると
np Σ[k=0, n-1] n-1 C k p^k q^{(n-1)-k}
だと思っています。

ではよろしくお願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

上と下で、同じkを使っているから混乱する。

E[X] = npΣ[1≦k≦n] C[n-1, k-1] p^(k-1) q^(n-k) において、k = j + 1 <=> j = k - 1 とおくと、1≦k≦n <=> 0≦ j ≦ n-1 となる。これを用いて、kの代わりにjを使って書き直すとよい。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

とても分かりやすかったです。
回答を読むまでは、
最後のkはk-1なんじゃないかと思っていたんですが、
jに置き換えてみると既にj=0になっているので-1する必要ないですね。
ありがとうございました！