統計学、分散について

質問

標本平均の分散が誤差項が互いに独立ならば、標本平均の分散は
Var(Xばー)=1/n(σ^2)
であるという事に関して質問があります。

https://sites.google.com/site/kanolabweb/home/econometrics/note04.pdf?attredirects=0&d=1
の4ページ目に計算過程が書いてあるのですが、
Var(μばー)=E(uばー^2)になるのは何故ですか？

Var(μばー)=E{(ui-uばー)^2}
　　　　　　　=E{(ui)^2-2*ui*uばー+(uばー)^2}
　　　　　　　=E{(ui)^2}-2*E{ui*uばー}+E{uばー)^2}
となるんじゃないでしょうか？
uばーの分散ってなんなんでしょうか？（誤差項の平均の分散ってどういう事なんでしょう？平均は平均で定まってるんじゃないんですか？）

そもそも期待値の関数の形のままでの計算方法が良く分かっていないです。
また、どの部分の知識が抜けているから分からないのでしょうか？
読みにくいですが、ご教授よろしくお願いします。

回答No.1

takurinta · ベストアンサー

> Var(μばー)=E(uばー^2)
は
Var(uばー)=E(uばー^2)
ですね。
提示した資料では、E(ui)=0となるようにuiを定義していて、
Var(uばー) = E(uばー^2) - {(E(uばー)}^2
という分散の性質にそれを代入してこの式を得ています。

Xの分散は
Var(X) = E[{(X - E(X)}^2]
で定義され、Xは単純な確率変数でなく、関数の形でも同じです。

E[{(X - E(X)}^2]
= E[X^2 - 2*E(X)*X + {E(X)}^2]
= E(X^2) - {2*E(X)}*E(X) + {E(X)}^2
= E(X^2) - {E(X)}^2
となることから、上で使った分散の性質が導かれます。E(X)は定数なので、期待値演算の外に出せることを使っています。
(定数aの期待値はE(a) = a となります。)

「uばー」は一つの標本では一つに定まりますが、新しい標本でも同じになるとは限りません。というか、まず別の値になるでしょう。
もちろん、真の平均0の回りにあることは間違いないですが。
そして、その分布がどのようになっているかを議論しているのが質問されているページのあたりでしていることです。

お礼

すいません。入力したつもりだったんですが、お礼できてませんでした。
よく分かりました、ありがとうございました。