２重積分について

質問

画像の中断の
Δ1≦Δ2ならば＿SI（f,Δ1）≧＿SI（f,Δ2）
の証明を御教授頂きたく質問させて頂きましたm(__)m
各定義については別途画像添付しておりますが、分割について、
（1）I＝I1∪I2∪…∪In
（2）i≠jならば、IiとIjとはその内部の点を
共有しない
を満たすものとしてます。

ご回答頂けると幸いです。
何卒よろしくお願い致します。

回答No.2

tmppassenger

あれ、本で書いてあるの、不等号逆かな？
Δ[1]≦Δ[2]は、普通Δ[2]はΔ[1]の細分（つまりより細かい）の意味なので、S_の方は細分の方が増加するので、本の不等号は逆ですね...

（でないと、その下で S_の「上限」を取る、との整合性が取れない。細分の方がS_ の値が増加するので、だからより細かい分割を取って、上限を考える）

因みに杉浦「解析入門I」（東大出版）の方は、不等号が私が書いたものとあってますね（IV章 命題 3.1 2) ）

回答No.1

tmppassenger

うーん、別段難しくないですけどね...

◯ 先ず、実数体の空でない有界な部分集合 A[1], A[2], ..., A[n] があった時、A = A[1]∪A[2]∪.....∪ A[n] として、1≦j≦nに対し、
* inf A[j] ≧ inf A
が成り立つのはいいですよね？（要は言葉で書けば、部分集合の下限が、元の集合の下限を下回ることはない）

◯ で、△[1] のある区間 I[k] が、△[2] で J[m[1]], J[m[2]], ...., J[m[L]] に分割されたとします。
i.e. I[k] = J[m[1]] ∪ J[m[2]] ∪ ... ∪ J[m[L]], 且つ J[m[i]] たちは、内部を共有しない
とすると、m(P) = inf{ f(x,y) | <x,y>∈P} 、v(P)をPの体積とすれば、

m( I[k]) v( I[k] )
= m( I[k] ) [ Σ[1≦i≦L] v(J[m[i]]) ]
= Σ[1≦i≦L] m( I[k] ) v(J[m[i]])
≦ Σ[1≦i≦L] m(J[m[i]) v(J[m[i]])

となるので、△[2] の方が、[S_]_I の値が△[1]の値以上になることが分ります。

お礼

早急な対応ありがとうございます！
丁寧な回答助かりましたm(__)m
自分なりに考えてた時も少し違和感あったのですが、やっぱり不等号違うぽいですよね……参考書でこういったミスあるんだと驚きました笑