積分の定義式を証明する問題ができません

質問

下記の証明問題についてです。

f(x)を[a,b]で単調増加とする。自然数nに対し,h=(b-a)/nとし,分割P(n)={x(0),x(1),…x(n)}をk=0,1,…,n, x(k)=a+kh、U(P(n),f(x))=Σ[i=1..n]M(i)・Δx(i) (M(i)=sup{f(x);x(i-1)≦x≦x(i)})とする時,
(1) 0≦U(P(n),f(x))-∫[a to b]f(x)dx≦(b-a)(f(a)-f(b))/n
が成立する事を示せ。
(2) ∫[a to b]f(x)dx=lim[n→∞]U(P(n),f(x))

という問題なのですがどうやって示せばいいのでしょうか?

回答No.3

koko_u_

>「有界関数f(x)が[a,b]で下積分と上積分が一致する時,f(x)
> は[a,b]でリーマン積分可能といい,∫f(x)dxと書く」

どう考えても、(1)、(2) は「単調増加関数が積分可能であること」を示そうとしているような書きようなわけですが。
それにしては無造作に ∫f(x)dx が問題文中に出てくるので戸惑わざるを得ません。

ホントウにこんな問題なんですか？

お礼

> それにしては無造作に ∫f(x)dx が問題文中に出てくるので
> 戸惑わざるを得ません。
> ホントウにこんな問題なんですか？

問題文は実は英語でそっくりそのまま書きますと
[Q] Suppose f is monotone increasing on [a,b].For n∈N,set h=(b-a)/n.Let P_n={x_0,x_1,…,x_n} where for each k=0,…,n,x_k=a+kh.
a. Prove that 0≦U(P_n,f)-∫[a～b]f≦(b-a)[f(b)-f(a)]/n.
b. Prove that ∫[a～b]f=lim[n→∞]U(P_n,f).

です。
何故か積分記号の後にdxが付いてません。

お手数お掛けしましてスイマセン。

回答No.2

noname#50894

循環論法になりそうで、
“定積分∫[a to b]f(x)dxは存在する”ことを前提にした問題
［従って、(※)が成立する］と考えて良いでしょうね。

更に、Δx(i)=x(i)-x(i-1)でしょうね。
>f(x)を[a,b]で単調増加…
から、M(i)=sup{f(x);x(i-1)≦x≦x(i)}=f(x(i))

従って、
U(P(n),f(x))=Σ[i=1..n]M(i)・Δx(i)
=Σ[i=1..n]f(x(i))・[x(i)-x(i-1)]

一方、
m(i)=inf{f(x);x(i-1)≦x≦x(i)}=f(x(i-1))
D(P(n),f(x))=Σ[i=1..n]m(i)・Δx(i)
=Σ[i=1..n]f(x(i-1))・[x(i)-x(i-1)]

#U(P(n),f(x))-D(P(n),f(x))→0（n→∞）のとき、
#定積分∫[a to b]f(x)dxは存在する。
が成立する。…(※)
この前提の下に、

(1) 0≦U(P(n),f(x))-∫[a to b]f(x)dx
≦U(P(n),f(x))-D(P(n),f(x))
≦(b-a)(f(a)-f(b))/n

は、手間がかかりません。

(2)(※)を前提にすると証明すべきことがないです。

■それとも
・f(x)が[a,b]で単調増加であるとき、積分可能であることを証明せよ。
なのか、はっきりしません

回答No.1

koko_u_

>(M(i)=sup{f(x);x(i-1)≦x≦x(i)})
f(x) は単調増加なので、M(i) = f(x(i))

それにしても、出題意図がよくわからんな。∫f(x)dx の定義はどうしてるんですか？

お礼

> それにしても、出題意図がよくわからんな。∫f(x)dx の定義はどうしてるんですか
> ？

∫f(x)dxの定義は

「有界関数f(x)が[a,b]で下積分と上積分が一致する時,f(x)
は[a,b]でリーマン積分可能といい,∫f(x)dxと書く」

です。。。
この定義で出題意図が見通しよくなりますでしょうか。。。?