結構難しめの数学の問題です

質問

定数 c>0 と閉区間I 上で定義された f(x) ͕が」
|f(x)－f(y)|<c |x－y|, ∀x,y ∈I
を満たすとする.

(i) f ＜　I で連続であることを示せ
(ii) c<1 の時 a[n+1]= f(a[n]) と帰納的に定義されるa[n]nはコーシー列であることを示せ

(iii) c<1 の時f(x)=xとなる点がI上で唯一存在することを示せ

これの解き方を教えてほしいです

回答No.3

tmppassenger

もう書いてしまいますと、 f(I)⊂I、つまりfはIからIへの写像という条件となっているはずです。確認してもらえますか？

回答No.2

tmppassenger

問題文がこのままだと、(ii)(iii)について、 I = [0,1] f(x) = (1/2)x + 10とおくと、Iとfは問題の条件を満たしますが（例えば c = 2/3で条件を満たす）、(ii)(iii)は成立しません
(ii) a[0] = 0と定義すると、a[1] = 10となるが、10∉Iなので、 a[2] = f(a[1]))でa[2]を定義できない
(iii) x∈I なら x≦1, 一方 f(x)≧10なので、明らかに f(c) = cとなる c∈Iは存在しない。

なのでfに関する条件（特に領域に関する条件）が何かあるはずです。もう一度問題をよく確認してください（本当にないなら、問題が間違っている）。（因みにどういう条件が欠けているかは知ってはいますが、敢えて書きません）

回答No.1

tmppassenger

いわゆる Lipschitz連続と、縮小写像に関する一般的な性質。だけどこれだけだと(ii) (iii)に反例が存在するのでちょっと確認。

「定数 c>0 と閉区間I 上で定義された f(x) ͕が」とありますが、fの定義域はIとして、fの領域になにか制限はありませんか？

補足

（２）（３）の問題文はこれであっています
（１）がｆはI上で連続であることを示せ
でていせいはそれくらいです