規格直交化されていない状態|i>について

質問

規格化も直交化もされていない独立な状態|i>(i=1,2,…,n)について<i|j>=g_{ij}とすると、
|i>(g~{-1})_{ij}<j|=1
となることを示せという問題なのですが、こたえをみたら添付画像のようにかいてありました。
規格化も直交化もされていないので<i|j>=δ_{ij}(i,j=1,2,…,n)も
Σ_{i=1}^n |i><i|=1(恒等演算子)
も使えないのですが、添付画像の第１式と第２式の等号はどう考えたら成り立つのか、
教えていただければ幸いです。

第２等号があたかも当たり前のように書かれているのですが、これは問題の主張そのものなので、
もうちょっと自分なりに考えないといけないんだろうと思っています。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

＞問題と解答には書いてなかったんですが、これって
＞Σ(i,j,m,n)が省略されて書かれていた、と考えていいのでしょうか？

|i>G<j|が行列の形をなすには、Σがないといけませんね。

ただ、|i>G<j|を行列の成分 G_{ij}と見ることもできます。
実際、(2)の計算でクロネッカのδが出てくるところでも
積：g{jm}G{mn}が単位行列となれば、その成分は δ{jn}で表されます。
対角成分(j＝n)ならば１、非対角成分(j≠n)ならば０ということです。

行列そのものの演算というよりも、行列の成分で演算を示していると
見た方がわかりやすいかもしれません。

お礼

ありがとうございます。Σがない前提でやっちゃっていたものですから。
それに添付の第２式のlはjの間違いのようで、ミスプリみたいですね。
ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

定義にしたがえば、導けると思います。

表記が複雑になるので、以下のように置くことにします。
g_{ij}= g{ij}、g^{-1}_{ij}= G{ij}

すると、添付の第1式は以下のように書けます。（k,lの代わりに、m,nとします。）

|i> G{ij} <j|m> G{mn} <n|

(1)真ん中の <j|m>を g{ij}の定義から書き換えます。
= |i> G{ij} g{jm} G{mn} <n|

(2)Gと gは逆行列の関係になるので（g^(-1)とgの関係）、
Gg または gGは単位行列になります。
よって
= |i> G{ij} δ{jn} <n|

(3)クロネッカのδが出てくるので、
= |i> G{ij} <j|

元の式は |i>G<j|と|m>G<n|の形の積であり、結果が |i>G<j|の形になるので、
零行列でなければ単位行列になるということです。

※最後に、ブラケットの演算は物理カテの方が反応がいいかもしれません。

補足

問題と解答には書いてなかったんですが、これって
Σ(i,j,m,n)が省略されて書かれていた、と考えていいのでしょうか？
そうでないとnaniwacchi様のご回答は成り立たないですよね。

元の式は |i>G<j|と|m>G<n|の形の積であり、結果が |i>G<j|の形になるので、
零行列でなければ単位行列になるということです。
→ここに気づくのがポイントですね。

m,nだけではなく、i,jに関してもΣが入っていないといけない、
とnaniwacchi様はお考えでしょうか？

お考えをお聞かせいただければ幸いです。