確率積分・伊藤の公式について

質問

●W(s)はブラウン運動　
●f(s)は W(u) (u≦s) の関数
●0=t0<t1<t2<……<tn-1<tn=t
●ti - ti-1 = t/n
のとき、「確率積分」を以下のように定義する。

∫[0～t]f(s)dW(s) = lim[n→∞]Σ[i=1～n] f(t{i-1}) * (W{ti}-W{ti-1}))

※{}内は添字

また、「伊藤の公式」より
Σ[i=1～n] (W{ti}-W{ti-1})^2　→　t (n→∞)

となる。この証明は
W{ti}-W{ti-1}　が　N(0,ti - ti-1) に従っていること
および大数の法則より証明できました。

そして、質問したい問題は上述の「確率積分」の定義と「伊藤の公式」を前提として、
以下の式を示せというものです。

∫[0～t]W(s)^2dW(s) = 1/3*W(t)^3 - ∫[0～t]W(s)ds

左辺を確率積分の定義に従って、なんとか計算していくと、
（左辺）=1/3*W(t)^3 - lim[n→∞]Σ[i=1～n]W{ti-1}*(W{ti}-W{ti-1})^2

となりました。
よって、あとは

∫[0～t]W(s)ds = lim[n→∞]Σ[i=1～n]W{ti-1}*(W{ti}-W{ti-1})^2 　　　　　(★)

が示されればこの問題は解けたことになります。
ここで疑問なのですが、

(1)∫[0～t]W(s)ds　という、確率過程の積分はどこで定義されたのでしょうか？
最後がdWsの確率積分は事前に定義してありますけど…。

(2)(★)はどうやって示せば良いのでしょうか？

まだ、確率積分のイメージが掴めてない状態です。
直接の質問の答えではなくても良いので、ヒントをお願いします。

回答No.1

stomachman

実は伊藤積分ってよく分かってないんですけど、ご質問の部分だけについて言えば、確率過程の話だと思えばいいかなと。
　すると、確率過程Wの積分
J (a,b)= ∫W(s)ds (積分はa~bの定積分)
は、普通は（形式的に）「区分求積法」を使って
J (a,b)= lim Σ(s[j]-s[j-1])W(s[j]) （limは区間(a,b)の分割数n→∞、Σはj=1~n)
と定義されるでしょう。確率過程J(0,t)の期待値と自己相関関数は、Wの期待値と自己相関関数が分かっていれば計算できる。