ベルトラン・チェビシェフの定理について。

質問

次の（iii)〜（v)で、（v)は、ｎ～２ｎの間に全く素数がないとしたら、2nＣnは１～２ｎ/３までの素数ｐの累乗の積で素因数分解される（表される）。つまり、２ｎ/３～２ｎまでの素数は全くないという事です。しかも、その中の√(２ｎ)以上の素数は１乗の形でしかない。
で合っていますでしょうか？（iii)は、二項係数2nCnの評価の所の解答の説明で合っていますでしょうか？URL: https://starpentagon.net/analytics/bertrand_chebyshev_theorem_2nd/
(iv)は、n≦kを使うことしか分かりません。（vii)もご教授下さい。すみませんが。

回答No.4

muturajcp

訂正です
(iii)
は
https://starpentagon.net/analytics/bertrand_chebyshev_theorem_1st/
そのものではありません

https://starpentagon.net/analytics/bertrand_chebyshev_theorem_1st/
の中に
(iii)c_n<4^n;n≧4で2nCn>4^n/n
は
ありません
(i)r=Σ_{k=1～[log_p(n)][n/p^k]
と
(ii)p^r≦2n
が
あるだけです

回答No.3

muturajcp

(iii)
は
https://starpentagon.net/analytics/bertrand_chebyshev_theorem_2nd/
そのものではありません

https://starpentagon.net/analytics/bertrand_chebyshev_theorem_2nd/
の中に
(iii)c_n<4^n;n≧4で2nCn>4^n/n
は
ありません
(i)r=Σ_{k=1～[log_p(n)][n/p^k]
と
(ii)p^r≦2n
が
あるだけです

回答No.2

muturajcp

(iv)の証明です

補足

ありがとうございます。（iii)は、以下のURLそのものでしょうか？ご教授願います。すみませんが。
https://starpentagon.net/analytics/bertrand_cheb …

回答No.1

muturajcp

(v)
自然数nに対して
2n/3<p≦nとなる素数p>2は
2nCnの素因数の中には全くないから

n<～<2nの間に全く素数がないとしたら,
2nCnは1<～≦2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される).
つまり,
2n/3<～≦2nまでの素数は2nCnの素因数の中には全くないという事です.
しかも
2nCnの素因数の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない

(iii)
の証明は

[補題3.2]n≧4→c_n>4^n/n
はその
https://starpentagon.net/analytics/bertrand_chebyshev_theorem_2nd/
の証明は書かれていて
証明できているけれども

[補題3.1]任意の整数n≧2に対して,c_n<2^(2n-1)<4^n
の証明はそこには書かれていません

https://mathematics-pdf.com/pdf/chebyshev.pdf
に
書かれていて証明できているので
https://mathematics-pdf.com/pdf/chebyshev.pdf
を参照してください

(iv)
の証明は

https://mathematics-pdf.com/pdf/chebyshev.pdf
の
補題5.2より
任意の整数n≧2に対して
(nまでの素数の積)
=
Π_{p≦n}p<2^(2n-1)<2^(2n)<(2^2)^n=4^n

(vii)
(vi)の不等式は
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^({√(2n)}/2)
{2^(2n)}/n<2^(4n/3)・(2n)^({√(2n)}/2)
↓2を底とする対数をとると
log_2({2^(2n)}/n)<log_2{2^(4n/3)・(2n)^({√(2n)}/2)}
log_2{2^(2n)}-log_2(n)<log_2{2^(4n/3)}+log_2{(2n)^({√(2n)}/2)}
2nlog_2(2)-log_2(n)<(4n/3)log_2(2)+({√(2n)}/2)log_2(2n)
2n-log_2(n)<(4n/3)+({√(2n)}/2){log_2(2)+log_2(n)}
2n-log_2(n)<(4n/3)+({√(2n)}/2){1+log_2(n)}
2n-log_2(n)<(4n/3)+({√(2n)}/2)+({√(2n)}/2)log_2(n)
(2n/3)-({√(2n)}/2)<log_2(n)+({√(2n)}/2)log_2(n)
(2n/3)-({√(2n)}/2)<(1+{√(2n)}/2)log_2(n)
である
x={√(2n)}/2
とおくと,
これは
4x^2/3-x<(x+1)(1+2log_2(x))
である
しかし
φ(x)=log_2(x)=logx/log2
は
φ(8)=3
x≧8
e^2<8
2<3log2
1/log2<3/2
1/8<1/e^2
1/x≦1/8<1/e^2
1/(xlog2)<3/(2e^2)<1/2
φ'(x)=1/(xlog2)<1/2
なので
x≧8で
log_2(x)≦x/2-1
1+log_2(x)≦x/2
2+2log_2(x)≦x
2log_2(x)≦x-2
4x^2/3-2x-1<(x+1){2log_2(x)}≦(x+1)(x-2)
4x^2/3-2x-1<x^2-x-2
4x^2-6x-3<3x^2-3x-6
x^2-3x+3<0
0<3/4≦(x-3/2)^2+3/4=x^2-3x+3<0
矛盾する
x≧8
{√(2n)}/2=x≧8
n≧128
では成立しない
∴
n≧128についてはnと2nとの間に素数がある

補足

以下のURLは、（iii)の証明でしょうか？（iv)の証明でしょうか？ご教授下さい。すみませんが。