二項定理について

質問

二項定理がどうしても分かりません。（ａ＋b）のn乗において
ａの（ｎ－r）乗・ｂのr乗の項はn個の因数（a－b）から
aを（n－r）個、bをr個取ってそれらを掛け合わせて得られる項を全て加え合わせたものである。それらの項の数はnＣn－r＝nＣｒとありますが、項の数が何故nＣｎ－ｒとなるのでしょう。
ａの選び方の組み合わせという事でしょうか？
だとしたらそのそれぞれの場合にbについてもr個の選び方があるはずです。
ということは（n－r）×r個の項の個数があるような気がします。

とにかく項の数の導き方が分かりません。どうかよろしくおねがいします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> ａの選び方の組み合わせという事でしょうか？

そうです。
(a + b)^nは（ (a + b)のn乗です。x^yは、『xのy乗』という意味です。）
(a + b)がn個かけ合わさってできたものです。
そのn個の(a + b)の中から、aをn - r個取ることを考えています。

> だとしたらそのそれぞれの場合にbについてもr個の選び方があるはずです。
> ということは（n－r）×r個の項の個数があるような気がします。

少し話を変えます。例えば『a, a, a, b, bの5つの文字を並べてできる単語の数はいくつですか？』という問題があったとします。
実は二項定理の話は、この問題の話と全く同じです。
a, a, a, b, bの文字の並べ方は次の通りです。

まずこの5文字を入れる箱を用意します。

□□□□□

a, a, a, b, bの5文字の並べ方は、この箱にaを3つ、bを2つ入れると考えれば良いわけです。
まず、aの入れ方ですが、箱が5つでそのうち3つを選んでaを入れるので、5C3通りになります。
続いてbの入れ方ですが、5つの箱のうち3つはすでに埋まっているので、『残った箱にbを入れる』という1通りの入れ方しか存在しません。
図にすると下のような感じです。

a a □□ a

こうなっていたら、bの入れ方は1通りしかないですよね？

二項定理も同じです。
(a + b)^nの中からaをn-r個取ることを考えると（こちらはnCn-r通り）、
bの取り方は『残ったところから取ってくる』の1通りしかありません。
なので{ a^(n-r) }( b^r )の係数は(nCn-r)×1 = nCn-rとなります。

ちなみに最初にaをn-r個取ると考えないで、『bをr個とって、残った部分からaを取る』と考えてもよいです。
この場合、bをr個取る組み合わせはnCr個、残ったところからaをn-r個取る組み合わせは1通りなので
{ a^(n-r) }( b^r )の係数は(nCr)×1 = nCrとなります。

nCn-r = nCrなので、結局{ a^(n-r) }( b^r )の係数はnCn-rになりますが。

回答No.4

koko_u_

いつも思うんですが、イキナリ n 乗を考えるからいかんのですよ。
2乗、3乗、4乗、5乗くらいまで自分で計算してから、「解答」を読むんです。

回答No.3

snowize

まず基本の確認から。

(a + b)^2 とかの場合ですと、
(a + b)(a + b) のようになりますよね？ この場合、
a を 2個（と b を 0個）かける項が 1項
a を 1個（と b を 1個）かける項が 2項
a を 0個（と b を 2個）かける項が 1項 となるので、
(1 * a^2 * b^0) + (2 * a^1 * b^1) + (1 * a^0 * b^2) = a^2 + 2ab + b^2

(a + b)^3 とかの場合ですと、
(a + b)(a + b)(a + b) のようになりますよね？ この場合、
a を 3個（と b を 0個）かける項が 1項
a を 2個（と b を 1個）かける項が 3項
a を 1個（と b を 2個）かける項が 3項
a を 0個（と b を 3個）かける項が 1項 となるので、
(1 * a^3 * b^0) + (3 * a^2 * b^1) + (3 * a^1 * b^2) + (1 * a^0 * b^3) = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

同じように (a + b)^n と飛ばして考えてみますと、
(a + b)(a + b)……(a + b) となることから、今までと同じように、
a を n 個（と b を 0個）かける項が nCn項
a を n - 1個（と b を 1個）かける項が nCn-1項
a を n - 2個（と b を 2個）かける項が nCn-2項
　：
a を 1個（と b を n - 1個）かける項が nC1項
a を 0個（と b を n 個）かける項が nC0項 となるので、
(nCn * a^n * b^0) + (nCn-1 * a^n-1 * b^1) + (nCn-2 * a^n-2 * b^2) + …… + (nC1 * a^1 * b^n-1) + (nC0 * a^0 * b^n)

このような具合で二項定理を求めることができます。
要するに「a を何個かけあわせるか？」を求めたものを全部足し合わせただけで、なぜついているのか分からないコンビネーションは「n 個の中から a を r個数選ぶ組み合わせ数」を意味するんですね。
このことはご理解いただけているようですが、平たく書き直してみました。OKですか？

あとは純粋に組み合わせの話、二項定理とか以前の問題です。
b の選択個数は一貫して括弧でくくってきたように、全体で n個を選ぶのですから、a を r個選んでしまった時点で、自動的に b は残りものと決まってしまいます。
これが (a + b + c)^n となれば話は別で、a を r 個選んでも、残り n-r個のうちのいくつが b でいくつか c かは一意に定まりません。なので b の選択個数についても考える必要があります。
順列や組み合わせの問題を解いていると「ここまで計算したら、残りは 1通りしかないので自動的に決定してしまう」という問題としばしば遭遇することになると思いますが、この場合もそれと同じ考え方です。
ご理解いただけない場合は「順列・組み合わせ」について復習なされるのがよろしいかと思います。前提条件が揃っていない段階で悩んでいても答えは出てきませんので。

回答No.2

kabaokaba

組合せと順列をごちゃまぜにしないこと．
分からなかったら低い次数で考えること
あとは「aが決まったら，bは自動的に決まる」ってことに注意
分配法則のよくある絵を書けばすぐわかる．

(a+b)^2 = (a+b)(a+b)の展開結果は
分配法則より，
二つの「スロット」の中にaを入れる入れ方を考える
(1)a^2=>一通り．二個のスロットの両方に入れるので 2C2
(2)ab=>二通り．二個のスロットの一個に入れるので(残りはbを入れるのは自動的に決まる) 2C1
(3)b^2=>一通り．二個のスロットに一個も入れないので(残りはbを入れるのは自動的に決まる) 2C0

(a+b)^3も同様．
三つの「スロット」にaを入れる入れ方を考える
a^3は三個に全部aを入れるので 3C3
a^2bは二個にaを入れるので 3C2
ab^2は一個aを入れるので 3C1
b^3は一個もaを入れないので 3C0

一般の(a+b)^nの場合
a^rb^{n-r}はn個のスロットにaをr個入れるわけだから
nCn-r 個の入れ方がある．