ベルトラン・チェビシェフの定理について。

質問

（v)は、ｎ～２ｎの間に全く素数がないとしたら、2nＣnは１～２ｎ/３までの素数ｐの累乗の積で素因数分解される（表される）。つまり、２ｎ/３～２ｎまでの素数は全くないという事です。しかも、その中の√(２ｎ)以上の素数は１乗の形でしかない。で合っていますでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(v)
2n/3<p≦n ならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n

3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから
∴
n<2p≦2n

2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p

だから
n<2p≦2n
2<p≦n

c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/{n(n-1)…p…3・2}

分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<～≦nの素数は全くないという事です
----------------------------------ここまで(v)
(ii)
2nCn がちょうど　p^r で割り切れるとき
r=e(p)
とすると
p^{e(p)}≦2n
だから
-----------------------------------ここから(v)
(v)
√(2n)≦p　となる素数pに対して

2n≦p^2　だから
p>2だから
2n<p^2 だから
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
となって2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1
となるから
e(p)は多くとも1だから
2nCn は　p^2 で　割り切れないから

2nCnの中の√(2n)以上の素数pは1乗の形でしかない