どう考えれば正解までたどり着けるか

質問

問題
（nC0)^2＋(nC1)^2＋(nC2)^2＋・・・＋(nCn)^2　を求めよ

回答
(1＋x)^n　×　(1＋x)^n 　＝　　（1＋x)^2n　　　である

左辺のx^nの係数を考える　二項定理を二回使って展開し考えると
左辺のx^nの係数はnC0×nCn　＋　nC1×nCn-1 ＋　nC2×nCn-2　＋・・・＋nCn×nC0
つまり（nC0)^2＋(nC1)^2＋(nC2)^2＋・・・＋(nCn)^2である

右辺のx^nの係数は2nCnである

左辺のx^nの係数と右辺のx^nの係数は等しいので
（nC0)^2＋(nC1)^2＋(nC2)^2＋・・・＋(nCn)^2＝2nCn

という問題なのですが、この答えは容易には思いつかないですよね
例えば試験場でポンと出されたときにどう考えれば
正解にたどりつけますかね？

自分はCが連続して足されている式の形からおそらく二項定理を使うであろうことは
予想できました
なぜならば高校範囲でCが連続して足されている形は二項定理くらいしか見ないからです
しかしそこから先がうまくいきませんでした
（1＋1)^nなどを考えたのですが正解までたどり着けませんでした

皆さんだったらどういうふうに考え正解にたどり着きますか？
それともこれはもう有名な問題、覚えておくべき解法として暗記してしまうしかないですかね？

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

有名問題なので覚えておくしかないでしょう．試験場では暗記に頼るというのは割り切るしかないと思います．

別に試験場で解けなくても，数日うなって解けたらそれはよっぽどいい経験だと思います．

重要なのはいろいろな考え方を暗記しておくことです．それをどう使うかが実力です．

例えばこの問題のもう一つ有名な組み合わせ的考え方を紹介しましょう．組み合わせ的な考えは頭の訓練にもなるので癖をつけておくと結構試験場でも思いつくと思います．

まず，k=0,1,・・・,nとしてnCn-k=nCkから

（☆）(nCk)^2=nCk×nCｎ-k

と考えます．2n個の異なるものをあらかじめｎ個ずつの2つのA，Bのグループに分けておきます．すると☆は

Aからk個，Bからn-k個　計n個

とる組み合わせの総数です．k=0,1,・・・,nについて加えればすべてのｎ個の組み合わせが得られます：

(nC0)^2+(nC1)^2+・・・+(nCn)^2=2nCn

要は，一つの問題に対して常に複数の考え方ができないか試みるようにしておくのです．こうしておくと，難問に出会ってもいろいろ試す方法があってその中から糸口が見つかるものです．それをしていないと，一定方向からしか考えず，それが結局使えない手法だったらずっと解けないというパターンに終わりがちです．

いろいろな考え方を自分だけでなく他人の考え方も含め知るということが重要だと思います．それを暗記とよんでも正しいですが，しかし，本を読む，勉強するというのはそういうことなのです．暗記といっても思考を伴う暗記は単なる暗記とは異なります．他人の考え方を十分思考を伴って知りつくし，引き出しを多くしておきます．そして，未知の問題を解くときどの引き出しを使うかを決めるのは自分自身で，思考をしているほどそれができるようになるのです．

単なる暗記と思考を伴う暗記を区別し，数学では後半の暗記をたくさん行うのです．

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.2

alice_44

質問文中の計算は、巧妙だねえ。
そういう導出は、答えの値を出した後じゃないと、
ちょっと思いつきそうにない。

もっと算数的には、nCk の意味に密着して…
(nCk)2乗 が、二つの n 元集合から k 個づつ
取り出す場合の数であることに注目しては
どうだろう？

それを k=0,1,2,…,n に渡って総和したのだから、
二つの n 元集合から同数の元を取り出す
場合の数を求めたことになる。

取り出した元を交換して新たに二つの n 元集合
を作ることを思いつけば、それが、
最初から 2n 個の元を二つの n 元集合に分ける
場合の数であることが解る。

こんな例題、暗記してもしょ～がないし。