数学の問題です。(多分、二項定理の問題だと思います）

質問

数学の問題です。(多分、二項定理の問題だと思います）

nを2以上の整数として、

An = 2*nC2 + 3*2*nC3 + 4*3*nC4 + ・・・・・・ + n(n-1)*nCn

Bn = nC0 - nC2/2 + nC2/3 - ・・・・・・・ + (-1)^n*nCn/n+1 （Ｃはコンビネーションです）

とする。このとき、An*Bn-1=(n+ (ア) )*(イ)^n + (ウ) となる。

答えは、ア=(-1) イ=(2) ウ=(-2) です。

因みに、略解には、Σ k(k-1)nCk = n(n-1)*Σ n-2Ck-2 とあります。

(Σは、個数n個、k=2 です）

早稲田大学の人間科学の問題らしいです。（2010）

全く分からないので、解説をお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

問題にいくつか誤記がありそうですね。

＞Bn = nC0 - nC2/2 + nC2/3 - ・・・・・・・ + (-1)^n*nCn/n+1 （Ｃはコンビネーションです）

　これは正しくは次の式ではありませんか？
　Bn = nC0 - nC1/2 + nC2/3 - ・・・・・・・ + (-1)^n*nCn/n+1

＞An*Bn-1=(n+ (ア) )*(イ)^n + (ウ) となる。

　また、この答えの式は次の通りではありませんか？
　（括弧を付けないとどこまでがひとまとまりなのかはっきりしません。）

　An*B(n-1)=(n+ (ア) )*(イ)^{n + (ウ)} となる。
-2

　さて、問題の解答ですが、略解のヒントがすべてと言っていいでしょう。
　このヒントと二項定理を使って　An, Bnをそれぞれ簡単にして求めます。

　An
=Σ[k=2→n] k(k-1) n_C_k
=n(n-1)Σ[k=2→n] (n-2)_C_(k-2)　　（∵　k(k-1) n_C_k=n(n-1)(n-2)!/[(k-2)!{(n-2)-(k-2)}!]=n(n-1) (n-2)_C_(k-2)　）
=n(n-1)Σ[k=0→n-2] (n-2)_C_k
=n(n-1) (1+1)^(n-2)　　　　　　　　（∵　二項定理から）
=n(n-1) 2^(n-2)

　Bn
=Σ[k=0→n] (-1)^k (n+1)_C_(k+1)/(n+1)
=1/(n+1) Σ[k=1→n+1] (-1)^(k-1) (n+1)_C_k
=1/(n+1) {1-Σ[k=0→n+1] (-1)^k (n+1)_C_k}
=1/(n+1) {1-(1-1)^(n+1)}　　　　　（∵　二項定理から）
=1/(n+1)

∴AnB(n-1)
=n(n-1) 2^(n-2)×1/n
=(n-1) 2^(n-2)

お礼

ご指摘の通りです。すみません。訂正していただきありがとうございます。

回答、とても参考になりました。

回答No.1

nag0720

k(k-1)*nCk
=k(k-1)n!/(k!(n-k)!)
=n(n-1)(n-2)!/((k-2)!(n-k)!)
=n(n-1)*(n-2)C(k-2)

nCk/(k+1)
=n!/(k!(n-k)!(k+1))
=n!/((k+1)!(n-k)!)
=(n+1)!/((k+1)!(n-k)!(n+1))
=(n+1)C(k+1)/(n+1)

を利用して、

An=Σ[k=2・・・n]k(k-1)nCk
=Σ[k=2・・・n]n(n-1)*(n-2)C(k-2)
=n(n-1)Σ[k=0・・・n-2](n-2)Ck
=n(n-1)*2^(n-2)

Bn=Σ[k=0・・・n](-1)^k*nCk/(k+1)
=Σ[k=0・・・n](-1)^k*(n+1)C(k+1)/(n+1)
=Σ[k=1・・・n+1](-1)^(k-1)*(n+1)Ck/(n+1)
={Σ[k=0・・・n+1](-1)^(k-1)*(n+1)Ck-(-1)^(-1)*(n+1)C0}/(n+1)
=1/(n+1)

An*B(n-1)=n(n-1)*2^(n-2)*1/n=(n-1)*2^(n-2)

お礼

回答、ありがとうございました。　詳しい説明で参考になりました。