体論

質問

Q[X] において，
X^3 －2=q(X)(X^2 +X+1)+aX+b をみたす
q(X) ∈ Q[X] と a, b ∈ Q を求めるにはどうしたらいいでしょうか。

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

x^3-2=q(x)(x^2+x+1)+ax+b
↓この式のxに^3√ 2=2^(1/3)を代入すると

0=q(2^(1/3)){1+2^(1/3)+4^(1/3)}+a*2^(1/3)+b

となります。これとは関係無く
1 + ^3√ 2 + ^3√ 4= p + q ^3√2 + r ^3√4
となる p, q, r ∈ Q
は
p=1,q=1,r=1
となります

0=q(2^(1/3)){1+2^(1/3)+4^(1/3)}+a*2^(1/3)+b
と
1 + ^3√ 2 + ^3√ 4= p + q ^3√2 + r ^3√4
となる p, q, r ∈ Q の求め方とは関係ありません

x^3-2をx^2+x+1で割ると商はx-1余りは-1だから

x^3-2=(x-1)(x^2+x+1)-1

q(x)=x-1
ax+b=-1
a=0
b=-1

x-1
x^2+x+1)x^3 -2
x^3+x^2+x
-x^2-x-2
-x^2-x-1
-1

お礼

ご丁寧にありがとうございます！

回答No.3

tmppassenger

> 1 + ^3√ 2 + ^3√ 4= p + q ^3√2 + r ^3√4

^3√ 2 が 2^(1/3)、^3√ 4が 4^(1/3)の意味なら、
> 1 + ^3√ 2 + ^3√ 4= p + q ^3√2 + r ^3√4
なら p = 1, q = 1, r = 1 でいいではないですか...

補足

ご回答ありがとうございます！
ちなみに、この式の X に ^3√ 2 を代入することにより，1 + ^3√ 2 + ^3√ 4= p + q ^3√2 + r ^3√4
となる p, q, r ∈ Q の求め方が知りたいです！

回答No.2

muturajcp

x^3-2をx^2+x+1で割ると商はx-1余りは-1だから

x^3-2=(x-1)(x^2+x+1)-1

q(x)=x-1
ax+b=-1
a=0
b=-1

補足

ご回答ありがとうございます！
ちなみに、この式の X に ^3√ 2 を代入することにより，1 + ^3√ 2 + ^3√ 4= p + q ^3√2 + r ^3√4
となる p, q, r ∈ Q の求め方が知りたいです！

回答No.1

tmppassenger

うーん、x^3-2をX^2+X+1で割り算をして、商と余りを求めるだけなんだけどな...　どの辺が不明ですか？

補足

この式の X に ^3√ 2 を代入することにより，
1 + ^3√ 2 + ^3√ 4= p + q ^3√2 + r ^3√4
となる p, q, r ∈ Q の求め方が知りたいです！