確率論

質問

確率論の問題なのですがわかりません。
どなたか助けてください。
Xを確率変数としたときに、任意の実数a,bに対して
1) F[aX+b](x)=F[X](x-b/a)
2) F[X^2](x)={ F[X](√x)-F[X](-√x) (x≧0)
0 (x<0)

になるという導き方が教科書に載っていなくて先に進めません。

回答No.2

arrysthmia

あまり見かけない記法ですが…、
確率変数 X の値が x 以下になる確率を
F[X](x) と書いているのですね。

それよりも、
確率変数 X の分布関数を f(x)、
Y = a X + b の分布関数を g(y)、
Z = X ^2 の分布関数を h(z) とでも書いたほうが
見易くなると思いますよ。

1) は、a ＞ 0 である場合にだけ、
事象 Y = a X + b ≦ y と X ≦ (y - b) / a が同値になり、
その等式が成立します。
a ＜ 0 であれば、g(y) = f( (y - b) / a ) ではなく、
g(y) = 1 - f( (y - b) / a ) となります。
分布関数の定義を確認しましょう。

2) は、Z = X ^2 ≦ x が -√x ≦ X ≦ √x と同値だ
ということです。
h(z) = f(√z) - f(-√z) という式ですが、
右辺の引き算は、X の密度関数を ∫ するときの
積分区間の差に対応しています。

1) も 2) も、f が連続確率分布であるときには、問題なく成り立ちますが、
f が離散確率分布である場合には、丁度 X = x となる確率が無視できないため、
ちょっと問題が起こります。

回答No.1

Tacosan

F[X](x) などの定義は?

補足

すみません。
FはXの分布関数です。それでF[X]と表します。