グラフの平行移動

質問

昔からうまく納得出来ていないことなのですが。。

例えば、点（a,b)をx軸方向にｐ、y軸方向にｑ、移動すると、点(a+p, b+q)へ移りますよね？

それに対して、グラフを平行移動する時は、
y = ax + bであれば、
y - q = a (x - p) + b
となります。

ここで、なぜｐとｑを足すのではなく、引くのかがよく分からないのです。

y = ax + b上の任意の点をX,Yと置いて、移った後の点をx,yと置くと、
x = X + p
y = Y + q

これを変形して、
X = x - p
Y = y - q

X、YはY = aX + bなので
y - q = a (x - p) + b
である。

というのでは、いまいち納得できないのです。
これでは、単に式の変形途中で引くになったから、
「引く！！」みたいな。。感じで。。

なにか直感的に分かるような解説はないでしょうか？

回答No.8

ranx

納得できないのなら、無理に「引く」形にしなくともいいんじゃないかな。
y=ax+b
というのは、つまりこの式を満たすような(x,y)のペアの集合ということですよね。
式で表せば
{(x,y)|y=ax+b}
ということ。
この直線をx軸方向にｐ、y軸方向にｑ移動させると、
{(x+p,y+q)|y=ax+b}
めでたく「足す」形式で表現できました。

ただし、試験官が認めてくれるかどうかは保証の限りではありません。

お礼

回答ありがとうございました。
お礼が大変遅くなってしまって申し訳ありません。

なるほど。この方が分かりやすいですね。
大学の集合論か何かでこの書き方を習ったような気がします。

回答No.7

kony0

「これを変形して」の意味をとらえれば、#2さんのご説明のとおりの解釈ができます。

「X=x-pが意味するところを言葉で表しましょう。」

（移る前のｘ座標）＝（移った後のｘ座標）－（ｘ座標の移動分）

・・・ただの式変形も、言葉に表すとイメージできませんか・・・ねぇ？（正直、説明不足の感あり。自信ないです）

ただ、たとえば文章題とか解くときに、模範解答にある「式」を「日本語」に翻訳する能力って、理解していくうえで非常に重要だと思っています。

回答No.6

es32

No.4ですが、この方がいいかな？

ｙの式がある。
ｙ＝□□□　（f(x)のことです）

ｙ軸方向にｑ移動するには、右辺にｑを足す。
ｙ＝□□□＋ｑ

即ち、
ｙ－ｑ＝□□□

同じように、
ｘの式に整理すると
ｘ＝■■■　（f(y)のことです）

ｘ軸方向にｐ移動するには、右辺にｐを足す。
ｘ＝■■■＋ｐ

即ち、
（ｘ－ｐ）＝■■■

これをｙの式に整理しても（ｘ－ｐ）の部分は変わらない。

私もとにかく直感的に納得するのが好きでした。
そうすると暗記した式は忘れても、一度分かったことは忘れないものです。

回答No.5

mirage70

(x , y)→(X , Y)とおくので錯覚します。
(x , y)→(A , B)と別のものと考えればよいです。
x軸方向にｐ、y軸方向にｑ、移動すると、点(x+p, y+q)へ移りますよね。即ち、A=x+p , B=y+p
此は、(A , B)を求めるものです。
A=x+p…(1) , B=y+q…(2)
y = ax + bの式は、(A , B)について成り立っているのではなく、(x , y)について成り立つものですので、
(1),(2)を代入して、B-q=a(A-p)+bとなります。
そして、点の移動、グラフにしても、XY座標と同一にして、AB座標を作り此を求めて、XY座標にAB座標を重ねると、
B=Y , A=Xとおいたものと同一になります。
グラフを２枚とらずに、１枚で考えるので、混乱したのでしょうね。このような考えでいかがですか。

回答No.4

es32

移った後の式に（X + p,Y + q）を入れると
移る前の式に（X,Y）を入れるのと同じ式になるようにする。

そのためには反対の符号で打ち消す準備がいる。

さて、これがあなたの直感にあうかどうか。

回答No.3

itomizu

要は直線状の点(X,Y)が(X+p,Y+q)になってしまったので、pとqを引かなきゃ等式が成り立たん！ってことなんですけどね。厳密にいうとちょっと違うけど。

回答No.2

naomi2002

こんにちは。

式を変形するとたしかにこうなるけれど、何となくだまされたような気がして、納得できない、ってことですよね。
その気持、よくわかります（笑）。

こういうときは、式でいくら説明してもダメなんですよね。
なるべく直感的に受け入れられるように、ということで、私なりに表現を考えてみました。

グラフを平行移動した後の点を(x, y)とすると、移動する前の点は(x-p, y-q)
この点が直線y=ax+b上に乗っているので
y-q = a(x-p) + b
ここで(x, y)は移動した後の直線上の点なので、これが移動した後の直線の式になります。

つまり、時間的順序をさかのぼって考えるのです。
これでもやっぱり、何となくだまされた感じかなぁ（笑）。
説明が上手でなくてゴメンナサイ。
でも私も、数学は直感的に納得できるものは直感的に納得することが良いと思います。
高校までの数学は、直感的に理解できる（つまり頭の中にイメージを描ける）ものが大部分であるはずですから。

がんばって下さいね☆

お礼

回答ありがとうございました。
お礼が大変遅くなってしまって申し訳ありません。

皆さんの回答を見て、自分がこんがらがっている部分が分かったような気がします。
求めたい式というのは、平行移動した後のグラフですよね？
それなのに、元のy = ax + bに代入するのがなんかおかしく思ってしまうようです。
元の点がこの式を満たしているというのは、分かるんですが、その式からいつのまにか変数も式も平行移動した後のものに変わってしまうのが、なんか不思議です。汗

おぉ！！平行移動した後の点から考えた方が分かりやすいですね。

回答No.1

fushigichan

tknzwaさん、こんにちは。

もともとのグラフの点を(x,y)←小文字
x軸方向に+p
y軸方向に+q
だけ平行移動した点を、(X,Y)としますと、

(x,y)→(X,Y)
X=x+p・・・（☆）
Y=y+q

ですよね？
さて、もともとの(x,y)が
y=ax+b
という式を満たしているなら、（☆）の２式の(x,y)もまた
これを満たすはずなので

x=X-p
y=Y-q
としておいて、
(Y-q)=a(X-p)+b

となります。
なので、(X,Y)の満たす式は、

(Y-q)=a(X-p)+b
となるんですね。
引くになったから引く、というのではなく、
「もともとの点(x,y)が満たす式はどれか？」
もともとの点が満たす式において、(x,y)を入れて考えてみる。
という感じです。
この説明で理解してもらえるといいんですが・・
頑張ってください。

お礼

回答ありがとうございました。
お礼が大変遅くなってしまって申し訳ありません。

皆さんの回答を見て、自分がこんがらがっている部分が分かったような気がします。
求めたい式というのは、平行移動した後のグラフですよね？
それなのに、元のy = ax + bに代入するのがなんかおかしく思ってしまうようです。
元の点がこの式を満たしているというのは、分かるんですが、その式からいつのまにか変数も式も平行移動した後のものに変わってしまうのが、なんか不思議です。汗

でも、理論的には分かったような気がします。